J. BOUSSINESQ
A cet effet, nous admettrons d'abord que le développement soit possible, ou que la fonction /(^) égale bien la somme limite d'une série convergente ordonnée suivant les cosinus et sinus des multiples de
— j et nous déterminerons, dans cette hypothèse, les coefficients A,-, B,.
Puis, une fois que nous connaîtrons la forme précise de la série, nous démontrerons qu'elle convient pour toute fonction périodique /(^). Le calcul de A/, B, se fait par la méthode de Fourier (ou d'Euler),
bien connue. On multiplie l'équation (i) par cos — -dx ou par
sin dx^ et l'on intègre les deux membres dans toute l'étendue d'une
période, de x=^ — a à ^ = H-^, en observant que le second membre de ( I ) peut être traité comme une somme d'un nombre fini de termes, vu que l'erreur commise sur ce second membre, en l'arrêtant à un terme assez éloigné, est aussi petite qu'on veut et ne donnera, dans le résultat des intégrations, qu'un terme complémentaire inférieur, lui aussi, à toute erreur donnée. D'ailleurs, les produits du terme quelconque
A: COS ' h B, sm - —
ITTJ?
du second membre de (i) par cos— ^ et par sin sont, respectivement,
-A; cos^^ ^ h cos^^ ^ — M- -By sm ^^ ^ sm ^^ ^ — h
-A; sm^^ ^ h sm^^ — — -h -B. cos^^ '— cos ^ '-^ — U
et se composent de termes proportionnels soit à des sinus qui ont leurs valeurs moyennes nulles, soit à des cosinus nuls au§si en moyenne, si ce n'est quand ils se réduisent à l'unité ou qu'on a i ifcy = o, c'est-à-dire ou / =y = o, ou du moinsy = i. Or il est évident que tous ces termes, multipliés par dx et intégrés dans l'intervalle 2a, qui comprend une ou plusieurs de leurs périodes, donnent pour résultats les produits de 2a par leurs valeurs moyennes. Il vient donc simplement :
r5o J. BOUSSINESQ.
Mais il est possible de simplifier encore celle-ci, au moyen de la formule qui donne la somme des cosinus des multiples successifs d'un arc quelconque a, et qui se déduit de la relation
2sin-cosia = sinf i-h - W — • sin f / — - j a,
(Ml y faisant successivement i = i , 2, 3, . . ., /i, puis ajoutant tous les résultats. Il vient ainsi
sin -»
OU bien
, . (an-l-Oa sm
(asin- j \ cosia = sin (/i-f- -)a —
- -¥- \ cos*a =
il 2 sin -
I^ formule (4) équivaut donc encore à celle-ci :
f 2 sm — î^
Changeant enfin de variable d'intégration, posons
a: — ^ = u ou ^ = x — u, d^r=:z— du, et il vient
((J) /(^) = limi r'""Z(£^sinl^iLtlllilrf„ (pourninfini;
ir // a a
a sin —
aa
3. Démontrons maintenant que ces formules (3), (4), (jo), (6) conviennent, quelle que soit la fonction périodique/(a7). Il suffit, pour cela, de faire voir que le second membre de (6), ou plutôt l'expression
1 a sin —
s'approche indéfiniment de /(a?) quand /i y grandit sans limite. Consi-
I 52 J. BOUSSIIÏESQ.
être incomparablement moindre que leur somme arithmétique, c'est-àdire nulle à la limite.
Quant aux éléments de l'intégrale (7), pour lesquels west très petit et compris, par exemple, entre deux limites fort rapprochées db |x, le fac-
teur — s'y réduit sensiblement à
a sin — 2a
TZ il*' ^ ^
ou, si £ désigne un infiniment petit positif, à — /{x -h s) pour les valeurs négatives de w, à — /{x — e) pour les valeurs positives de m. Ces éléments valent donc, en tout,
/(x-I-e) f*^ ^. {2 n -{-i)7z II du ^ /{jt — e) f^ . (2n -\- i)tzu du
' / SUJ i^ h -^ ' I SU
OU bien, vu que la fonction multipliant du sous les signes /est paire et que/(^ -\- t) -\- f[x — t) égale toujours 2/(^),
(8) '-mf'A
(2n -+- i)tzu du
sm^
2 a II
Mais, quand n devient très grand, on peut remplacer la limite supérieure [i par QO . En effet, on n'ajoute ainsi à l'intégrale (8) que des aires d'arceaux de sinusoïde analogues à ceux dont il vient d'être parlé, aires très petites et alternativement positives et négatives, qui seront ici lentement décroissantes d'un arceau au suivant, à cause du dénominateur w de plus en plus considérable, et dont, par conséquent, la somme, moindre que la première d'entre elles, sera négligeable.
La valeur limite de l'expression (8) est donc la même que celle de
^/(^) r* • i'^n -\-i)t: u du
[9) ^i sm
Or on sait que l'intégrale / du^ où k est une constante posi-
