THÉORIE DES SERIES TRIGOWOMÉTRIQ13ES. I

tive quelconque, peut s*écrire / ^^" '^^ d{ku)= 1 ^^rfic, et quelle

a pour valeur -• Donc l'expression (9), limite de (7), n'est autre que /(a?), ce qu'il fallait démontrer.

§ II. — Formules dérivées.

4. La formule (3) en comprend quatre autres, qui sont souvent utiles. Les deux premières s'obtiennent en concevant que la fonction /(a?) soit ou impaire ou paire, c'est-à-dire telle qu'on ait

ce qui n'empêche pas de lui attribuer des valeurs quelconques entre les limites a? = o et a? = a.

Si /(— x) =— /(a?), les expressions (2) de Aq et de A, sont nulles, vu que sous les signes / les éléments correspondant à deux valeurs égales et contraires de Ç se détruisent. Quant aux éléments analogues de l'expression de B/, ils sont égaux et s'ajoutent. Il vient donc

•°: /(^)=|'|sini^//(|)sini^'rf|.

Si, au contraire, /[— x)=^/{x), c'est l'expression (2) de B/ qui s'annule, et ce sont celles de A^ et A,- qu'on peut ne prendre qu'entre les limites o et a, sauf à doubler les résultats. On trouve

(M) /(;r)=ijr7(|)rf?4-|^'cosi^/V(|)cosi^rf?.

Les deux dernières formules cherchées se déduisent de (10) et (i i), en supposant que la fonction /{x) reçoive, à égale distance des deux limites zéro et a, des valeurs égales et de même signe dans la formule (10), égales et de signes contraires dans la formule (11), c'est-à-dire en posant respectivement /(a — a:) = ±/(a?). Alors, aux seconds

Journ. de âfath, (3« Bérie). tome ^11. - Mai i?8i. 20