J BOUSSINESQ

membres de ( lo) et ( 1 1 ), les termes pour lesquels i est pair s'annulent,

vu que les éléments respectifs d'intégrale/(ç) sin — ^rfÇf /(c) cos — -dl,

qui correspondent à deux valeurs de Ç également distantes de zéro et a se détruisent. Au contraire, ces deux éléments s'ajouteraient et seraient égaux pour i impair. Si, afin d'abréger, Ton appelle b la moitié de a, la fonction f[x), complètement arbitraire depuis j? = o jusqu'à

.r = - = è, comportera ainsi, entre ces limites, les deux expressions

(ciZ-hOt:./: r' y^vx (•.^/-Hi)t:$

,3) /(.)=;^cost»'±^l^-£r/,ï

COS ï az.

On passerait d'ailleurs de Tune de ces formules à l'autre par les changements de x en 6— x et de /{b — jc) en f[x).

5. Enfin, la relation [f\) conduit à la formule classique de Fourier, en y faisant grandir indéfiniment la période aa, ce qui revient à supposer la fonction /(a?) donnée arbitrairement dej:' = — oo àa: = -h3c. Alors, quand on passe d'un terme de la série 2 au terme suivant, l'expression — ) qu'on peut appeler a, croît de la très petite quantité

Aa — -j qui devient, à la limite, une différentielle rfa; en sorte qu'il semble permis de remplacer, dans (4)f le facteur - par — j puis de faire passer rfa sous le signe 2 et de transformer la somme 2 en une intégrale prise dea = oà a= — Il vient donc

(i4) /(^) = lini - / /[q)d^l cos oc {x — ^)dcx. (pour a infini), ou bien,

(i5) /(a.)=ijr'rf«jry(?)cos«(*-i)^.