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la première d'entre elles, laquelle s*annule pour « infini , et la formule (i4 ) est bien exacte.

Mais il importe d'observer que la série ainsi exprimée par ( 1 4 ) ou ( i6 ) peut devoir en partie sa convergence, sa valeur finie et déterminée, à l'ordre dans lequel se succèdent ses éléments, et non toujours à leur seule petitesse absolue; de sorte qu'il faudra ne la transformer qu'avec de minutieuses précautions et en vérifiant, dans chaque cas, si l'on n'altère pas sa valeur. Même le passage de la formule (i4) à la formule (i5) donne matière à discussion, soit à cause du mode de groupement des éléments, qui n'est plus le même, soit parce que la variable x — ^ = u devient alors infinie avant qu'on effectue l'intégration par rapport

à a et non après, circonstance qui avait, dans (i6), réduit à nu le dénominateur plus complexe 2 a sin — • Il en serait autrement, et l'ordre

des intégrations deviendrait arbitraire, si la fonction /{x) s'annulait identiquement en dehors de deux limites données x=p^ x = q\ car, alors, dans le second membre de (i4), où a est supposé très grand mais non encore infini, l'intégration par rapport à | pourrait ne se faire que de ? = /> à Ç = y, et ce second membre serait une intégrale double ordinaire, ayant sa fonction sous les signes / finie et ses limites, également finies, bien déterminées.

§ III. — Sur une raison générale, propre à justifier synthétiquement V emploi des divers développements de /onctions arbitraires usités en Physique mathématique.

6. Ce qui précède est une théorie purement analytique du développement d'une fonction arbitraire (donnée dans un certain intervalle) en séries procédant suivant les sinus et cosinus des mukîples naturels ou impairs d'un arc proportionnel à la variable. Mais on sait que les géomètres ont été conduits à l'étude de ces séries par des problèmes de Physique, savoir, ceux où, le temps t, par exemple, étant la variable indépendante principale, x une autre variable, caractéristique des différentes parties d'un corps, u la fonction inconnue de x et t qui représente un état physique considéré (température, déplacement vibra-