RESOLUTION DES EQUATIONS PRIMITIVES

Considérons une équation primitive (p{y) =0, algébrique ou transcendante; Wj n'étant pas une quantité dépendant d'une autre variable x, ne peut être une fonction proprement dite; «^ n'est ici qu'une simple quantité algébrique ou transcendante, et les conditions qui la déterminent se réduisent en définitive à une équation.

Équation réduite. — Cette équation devra se rapprocher autant que possible de l'équation proposée et être nécessairement résoluble par des procédés connus; elle devra être de même nature que cette dernière et donner le même nombre de solutions. Si ces conditions sont convenablement remplies, cette nouvelle équation donnera une valeur «^ qui rendra la fonction (p{w) aussi petite que possible, et par suite le développement aussi convergent qu'il se pourra.

Wronski nomme cette équation équation réduite. Il faut donc, pour obtenir cette équation, réduire Téquation proposée à ce qu'elle a d'essentiel, afin d'en tirer la valeur fondamentale w au moyen d'une solu-

Hon finie. Pour cela introduisons dans le premier membre de Téquation (p[y)=z o une quantité arbitraire «, de telle façon que la nouvelle fonction <)?(/, w) = o, qui ne sera autre que la fonction proposée pour 0) = I, puisse donner une équation résoluble par les procédés ordinaires pour w = o ; la quantité w que Ton tirera de cette équation réduite, qui est alors ç)(«% o) — o, sera celle que Ton devra porter ensuite dans l'expression (2) ou (3) pour obtenir la valeur de l'inconnue.

Cette quantité auxiliaire w peut être introduite soit en coefficient, soit en exposant, et cela de bien des manières différentes. Cette quantité peut également être prise parmi les quantités qui existent déjà dans la fonction y [y), comme nous le verrons dans divers exemples.

D'après ce qui précède, la manière la plus convenable d'introduire la quantité auxiliaire w doit conduire à des équations réduites, résolubles immédiatement, et dans tous les cas d'une manière théorique et finie, en ayant soin de s'écarter le moins possible de la nature générale de l'équation proposée. Nous pourrons donc choisir pour les équations algébriques, parmi les équations résolubles, les équations réciproques, ou plus généralement les équations binômes du même degré que celui de l'équation proposée. Pour les équations transcendantes, dont la forme est variable à l'infini, nous pourrons les ramener à la forme d'équations algébriques, résolubles comme il vient d'être dit.

Sur les solutions théoriques. — Il r.^sulte de cette méthode que l'on distingue toujours deux parties dans la résolution d'une équation : l'une y?me,(v ou F((v), donnée par l'équation réduite, constituant la partie finie de la solution et la partie essentiellement théorique, et l'autre indéfinie^ existant généralement, formée par l'ensemble des autres termes. Si ç{y) = o n'admet pas de solution finie, ce qui est le cas le plus fréquent, et si l'équation réduite est déterminée de telle façon que l'on ne puisse pas en trouver une autre plus rapprochée de l'équation proposée, la valeur fondamentale que l'on en déduira rendra la fonction ?(w^) aussi petite qu'il se pourra, et le développement atteindra le maximum de convergence. Par suite, la parlie indéfinie de la solution sera réduite à la moindre importance, et celle-ci donnera, au contraire, à la partie finie, qui forme la partie théorique, la plus grande importance qu'elle puisse avoir. Dans ces conditions, il n'y aura plus rien

aC È. WEST.

comprise entre «« et Tunité, de telle sorte que 9(m^«, w, )< i . I^ valeur w^ portée dans l'équation fondamentale donnera une seconde valeur W29 laquelle, étant considérée à son tour comme valeur fondamentale, donnera la solution cherchée si 9(«^2> 0"^ '•

On pourra ainsi faire plusieurs substitutions des quantités iv^j mp»,, w^^ . . ., données au moyen des quantités auxiliaires e^e) co,, a>2, « . . ; mais le nombre en sera toujours restreint, par la raison que les détermina tions successives des quantités cocon tenues entre zéro et l'unité ne sauraient être nombreuses {voir, pour la méthode secondaire élémentaire et pour la méthode d'exhaustion applicable dans ce cas, la Réforme, 1. 1, p. Ixxviij àlxxxiv).

Premier exemple. — Pour éclaircir les développements que nous venons de donner sur la méthode secondaire, nous pouvons appliquer cette méthode à un exemple. Devant traiter spécialement des équations algébriques dans la méthode secondaire systématique, nous laisserons provisoirement ces équations. Pour l'instant, nous allons résoudre une équation transcendante dont Wronski a donné la solution (voir /la Ré- /orme, 1. 1, p. cccxxij et cccxxiij).

Soit le système d'équations

( cîni: — ^t^^ yco9a-Hsin((x>-t.))

I smç — T — fT ->

i . 1 ' ^eltg cosot

( tango) = -^ ç— ;

les quantités ^ et o) sont les inconnues, et les autres des constantes. Posons, pour abréger,

(a)' n=-, m = ^^ et /? = ^

D'après les conditions du problème, les constantes m et n sont sensiblement égales, la première à ^ et la seconde à l'unité, ou du moins s'écartent peu de ces valeurs; quant aux angles a et ©, ce sont de très faibles quantités.

Digiti

igiti^i