THÉORIE DES SÉRIES TRIGONOMKTRIQUES. I

toire, etc.), et enfin f[x) la fonction arbitraire de x qui exprime les valeurs initiales de w, la nature des équations du problème montre qu'avec un état initial de la forme Acosmo? -h Bsinmx, et certaines valeurs de m, la fonction cherchée u se réduit à ce qu'on appelle une solution simple, c'est-à-dire à une expression, relativement facile à obtenir, ne dépendant de / que par un facteur, le même pour tout le corps; de sorte que, vu d'ailleurs la forme linéaire des équations et la possibilité de superposer simplement les effets d'un nombre quelconque d'états initiaux, il ne s'agit plus, pour avoir l'expression générale de u, que de décomposer /(^) en termes de cette forme

A cosTwa? -h Bsinma?.

Dans les cas où les valeurs de m sont multiples de l'une d'elles, un tel mode de décomposition peut toujours se faire, d'après les démonstrations directes données aux paragraphes précédents. Mais, dès que certaines conditions, dites définies, relatives aux limites entre lesquelles varie a?, se compliquent un peu, les valeurs de m cessent d'être les multiples de l'une d'elles, même quand les intégrales simples correspondent encore à un état initial exprimable par un sinus ou un cosinus. De plus, ce dernier cas est lui-même très exceptionnel. Il continue bien à y avoir, toujours, une infinité de solutions simples ne dépendant de / que par un facteur où les autres variables a?, j, z n'entrent pas, et où t se trouve affecté d'un coefficient k d'autant plus grand que la solution simple varie plus vite en fonction de /, x, y, z ; mais il faut recourir, pour représenter les états initiaux correspondants, qu'on peut appeler aussi des états initiaux simples, à des expressions plus compliquées que des cosinus ou des sinus. Or, dans ces divers cas, on tâche encore de former l'intégrale générale par voie d'addition, en dédoublant ou décomposant l'état initial arbitraire donné en états initiaux simples, pris dans l'ordre des valeurs croissantes de k, c'est-à-dire rangés suivant la rapidité relative avec laquelle ils varient d'un point à l'autre, les plus lents à changer étant les premiers ; et l'on sait que le procédé de Fourier, pour la détermination des coefficients ou amplitudes des états initiaux simples, ne cesse pas d'être applicable, du moins dans la théorie de la chaleur et dans celle des petites vibrations ou oscillations.