I 6.1 C. SIRE
roulette C se trouve précisément au pole de la sphère centrale, et, partant, que le déplacement de tout le système autour de la verticale de Tappareil ne peut produire aucune rotation angulaire de cette roulette autour de son axe, et qu'il en est de même des roues B et A. On dé-
montre ainsi que, à Téquateur, le plan d'oscillation du pendule n!éprouve aucun déplacement angulaire autour de la verticale, quel que soit fazimut de ce plan.
Enfin, si Ton considère le cas de Texpr rience du pendule exécutée à une latitude moyenne, l'appareil doit être disposé comme dans lay?^. 3. Dans ce cas, la roulette C est astreinte à se mouvoir sur un parallèle de la sphère dont la latitude est égale au complément de la latitude du lieu de l'observation. Dès lors cette roulette imprime à la roue Aune vitesse angulaire 0'= cosinX, w étant son déplacement angulaire sur la sphère.
Pour le démontrer, soient
PP' [Jîg, 4) la ligne des pôles de la sphère ;
EE' l'équateur ;
X la latitude du heu.
LE DEVÎOSCOPE.
En laisauL tourner le système de roues autour de la verticale de Tappareil, on voit aisément que les chemins parcourus par le point de
Fig. 3.
contact b sur la circonférence de la roulette C et sur le cercle parallèle de rayon ab sont respectivement
Or ces chemins sont égaux, puisque la roulette C se meut sans glis-
l66 G. SIRE. — LE DévlOSCOPE.
sèment sur la sphère; on a donc
/ \ , ab
I^a simple discussion de celte formule élémentaire fait voir que :
1® Quand l'expérience est faite au pôle, comme dans lay%. i , ah devient égal à oE'= bd\ par suite, a)'= fù.
Q® Dans le cas de Téquateur [fig, a), ah est nul, a>' est aussi nul.
3® Enfin, pour le cas de la^f^. 3, comme par construction hd=oh^ la formule (i) devient
ab
ou
0)== 0) — r = CD sin a, ob
ù = (ù sinX.
Sur les permutations alternées ;
Par m. D^sni ANDRE.
Le présent travail a pour point de départ la notion, probablement toute nouvelle, des permutations alternées de n lettres distinctes, et pour objet l'étude du nombre 2 A„ de ces permutations.
Nous définissons les permutations alternées de n éléments distincts ; nous donnons le moyen de calculer, de proche en proche, la moitié A^ de
A leur nombre ; nous déterminons la fonction génératrice de la fraction -j ;
nous en déduisons les développements de tango? et de séco? suivant les puissances croissantes de x ; nous appliquons les résultats obtenus à différents développements ou séries ; nous en tirons plusieurs conséquences touchant les développements des fonctions elliptiques; enfin nous donnons de nouvelles et plus simples formules pour calculer les nombres A„.
11 se trouve que ces nombres A„ ne sont autres que les coefficients
de — dans le développement soit de tango?, soit de séco?. Ces coefficients avaient été considérés déjà. Grâce aux permutations alternées, nous en pouvons donner une définition combinatoire très simple, très nette, et indépendante de tout développement.
l68 D. ANDRÉ.
\ . Considérons n éléments disiincts a, , «a, a,, ...,«„ et formons en toutes les permutations. Si, dans Tune quelconque d'entre elles, nous retranchons chaque indice du suivant, nous obtenons une suite àe n — \ différences, dont aucune n'est égale à zéro, et qui, dans toutes les permutations, sauf deux, sont les unes positives, les autres négatives. Ix)rsque, tout le long de cette suite, ces différences sont alternativement positives et négatives, la permutation correspondante est alternée. Lorsque, au contraire, cette continuelle alternance des signes ne se présente pas, la permutation n'est pas alternée.
Par exemple, dans le cas particulier où n = 4» les permutations
sont alternées, et les permutations
ne le sont pas.
2. Le nombre des permutations alternées de n éléments distincts dépend évidemment, et uniquement, de n. Par sa nature même, A est forcément positif et entier; et l'on peut démontrer, d'une manière très simple, qu'il est toujours pair. Il suffit effectivement de faire observer que les permutations alternées de n éléments distincts se correspondent deux à deux. L'un des moyens les plus commodes d'établir cette correspondance consiste à associer les permutations qui présentent les mêmes indices dans un ordre exactement inverse.
En associant de cette façon les permutations alternées de quatre éléments, lesquelles sont au nombre de dix, on obtient les cinq couples suivants :
û^l^l^l^4 et OLkOL^OL^OiKi
dxti^diCf.^ et a^a^a^a,,
a^oL^a^OL^ et o^^ol^olzOl^^
OL^OL^OL^cHz et 0^1 a, 6(4 a2,
0(ja,6c,a2 et «aaja^aj.
SUR LES PERMUTATIONS ALTERNÉES. itjQ
3. Nous représenterons par 2 An le nombre des permutations alternées de n éléments distincts. Comme il n*y a de permutations alternées que parmi les permutations d'au moins trois éléments, les symboles Ao, Ao A2 sont dépourvus de sens. Pour la régularité des formules, nous les emploierons néanmoins, en convenant de les regarder comme égaux chacun à l'unité.
Le nombre A„, moitié du nombre des permutations alternées de n éléments distincts, possède ainsi, on le voit, une définition très simple, très nette, purement combina toire et indépendante de toute considération de développement.
