II. — Calcul des nombres A

4. Comme nous l'avons déjà fait observer (*), le moyen général de calculer les nombres tels que A,, qui se présentent dans l'analyse combinatoire consiste à déterminer une relation entre le nombre A,,^.,, par exemple, et les nombres analogues d'indices moindres A„, A;,|,

A„2, Pour parvenir à une pareille relation, nous partagerons les

permutations alternées des n -\- 1 éléments distincts a,, «3, «3, . . ., a„+, en n -h I classes, savoir : les permutations alternées où l'élément (x„^i occupe la première place ; celles où il occupe la deuxième place ; celles où il occupe la troisième place; ... ; celles où il occupe la (n -f- 1)'""** place.

5. Formons toutes les permutations alternées des n -h 1 éléments distincts a,, «3, cc^, .. ., a„^^, où l'élément a„^i, qui possède l'indice le plus élevé, occupe la {p -f- i)»^"« place.

La première opération à effectuer, c'est évidemment de partager les n autres éléments en deux groupes, l'un de p éléments qu'on devra placer avant a„^.,, l'autre de n — p éléments qu'il faudra placer après. Et ce partage en deux groupes pourra s'effectuer d'un nombre de ma-

(*) Bulletin de la Société mathématique de France, année 1879.

Jonrn. de Math. (3* série), tome VU. — Mai i88i. 22

lïières différentes égal au nombre CjJ des combinaisons simples de n objets/? à/;.

Supposons qu'on ait efFeclué ce partage de l'une quelconque de ces C^ manières. Les p éléments du premier groupe devront être disposés en une permutation alternée où l'indice de Tavant-dernier élément surpasse celui du dernier. Le nombre des dispositions différentes dont ces p éléments sont susceptibles est donc égal à la moitié du nombre des permutations alternées de/> éléments distincts, c'est-à-dire à hp. De même, les n — p éléments du second groupe devant former une permutation alternée où l'indice du premier élément soit moindre que celui du second, ces n—p éléments seront susceptibles d'un nombre de dispositions différentes égal à A;^^.

Par conséquent, à un seul mode, quelconque d'ailleurs, de partage en deux groupes des n éléments autres que a«+,, correspond un nombre, égal au produit ApA„^, de permutations alternées de /i-h i éléments, dans chacune desquelles Un^i occupe la (/? H- i )>**"*« place. Et il s'ensuit immédiatement que le nombre des permutations de ce genre que donnent lous les modes de partage, c'est-à-dire le nombre total des permutations alternées de /i -f- i éléments, où a;,^., occupe la [p H- i)"«»<^ place, est égal au produit C^A^A^^p.

6. Ainsi, le nombre des permutations alternées de n-4- i éléments distincts, où l'élément «;,+, occupe la première place, est C^AoA^.

Le nombre de celles où il occupe la deuxième place est C^,A, A;,^,.

Le nombre de celles où il occupe la troisième place est C^f^P^^P^n-^-

Et ainsi de suite.

En ajoutant tous ces résultats, on trouve évidemment le nombre total 2 A„4., des permutations alternées de n H- i éléments distincts. De là l'identité

2A;,^.i = C^Ao A,|-|- C^ A, A;,4 H- C^A2A„«a H-. . .-f- C^ A„ A©.

D'ailleurs, le mode de raisonnement que nous venons d'employer nous montre bien que cette identité est exacte pour toutes les valeurs de /î supérieures à l'unité. Il se trouve qu'elle subsiste encore lorsque n

est égal à l'unité, mais elle n'est plus vraie dans le cas où n est égal à zéro.

7. Cette identité donne un moyen simple de calculer, de proche en proche, les nombres A^,. Elle est d'un emploi d'autant plus commode qu'elle ne renferme, à son second membre, ni signe — , ni nombre fractionnaire. Nous avons, par convention (5),

Aq := I , A| = I , Aj = I •

En appliquant notre formule, nous trouvons

A3=2, A4r=5, A5=i6, A(, = 6i, A, = 272, A8=i385, Ao=7936,

Nous donnerons, dans la suite du présent travail, d'autres formules, encore plus simples, pour effectuer ce même calcul.

A III. — Fonction génératrice des fractions — 'J