Posons d'abord

L'identité précédemment trouvée (6) se transforme en celle-ci 2(/i -4- i)a„+, = a^an-^ a^an-i H- a2«/i-a-^. • -^cinCi^^

qui est, comme la précédente, exacte pour /i égal ou supérieur à l'unité,

mais fausse pour n=o.

Puis, désignons par Y la fonction génératrice de — 'J» c'est-à-dire

de rï„. Nous aurons, d'après la définition bien connue des fonctions génératrices,

y = ao-l-aiX -f-fla^^-H a^x^-h^^ .,

et la question que nous nous proposons présentement, c'est de déterminer Y.

9. Pour cela, revenons à l'identité (8) qui lie le nombre a„^t aux

nombres an, a^-i , ««-a, Sa forme nous suggère l'idée de considérer

le carré de Y. En le formant, nous trouvons

Y^= a^-t-(aoa, H- fljao)-^ -^ (ûfo«2-^- «i«i -i- «a^O^'^^H-- •• ;

c'est-à-dire, si nous faisons usage de l'identité rappelée, en évitant soigneusement de l'employer dans le cas de n = o, où ejle est fausse,

Y^ = ajj -1-2.2^20? 4- 9.,Za^x^-{-

Dans ce nouveau second membre, la série qui suit a\ est évidemment égale à

Donc, nous avons identiquement l'équation différentielle suivante qui devient, lorsqu'on y remplace a© et a, chacun par l'unité.

Nous en déduisons

arctangY= - -f- C;

et, puisque Y se réduit à a», c'est-à-dire à l'unité, lorsque a? = o, la

constante C est égale à y- Donc, finalement.

Telle est la fonction génératrice du nombre a„, c'est-à-dire de— ^.