IV. — Développements de sécx et de tango

1 1 . Notre formule fondamentale

devient immédiatement, par le changement de a? en — a?,

(*) Présentée à F Académie des Sciences, dans sa séance du 12 mai 1879.

fji D. ANDRÉ.

Or, nous avons ces deux identités

Donc

a séca; = lang (^^ ^ ^) -h tang (^ - f )' 2 tang^r = tang (^^ 4- f ) - tang (5 - f ) •

/••S /ÏJ^ T^

séca? = Ao-f- Aa^ "*"^«ÂT^^«6T *■* '

tang^ = A,Y7 -+" As 51 + A557 -^A7

Ces deux formules donnent, on le voit, les déveioppemeints de séco? et de tango?, suivant les puissances croissantes de x^ et elles rendent manifeste une corrélation remarquable entre les coefficients de ces deux développements.

12. Il y a environ deux cents ans que les géomètres ont commencé à s'occuper du développement de tango?, et probablement de celui de sécj?, car on trouve, vers la fiii-du xvii* siècle, dans le Commerciiim epistolicum^ une lettre de Gregory où il est question du premier de ces développements. Toutefois, il nous semble que ce n'est qu'en ces derniers temps qu'on a eu l'idée de considérer, au lieu des coefficients a„ qui sont fractionnaires, leurs numérateurs A^ qui sont entiers; de chercher des formules simples pour calculer ces numérateiu's ; enfin de rapprocher, comme nous venons de voir qu'on doit le faire, les deux développements de sécx et de tango?. L'honneur en revient, croyonsnous, à M. Catalan.

Dans un article faisant partie de ses Notes d'Algèbre et d'Analyse ( * ), M. Catalan pose en effet, a priori,

séco? = Gq H- Ga — -4- G4 7-j -f- Gfl ^ H >

tango? = G, ^ -h G, fy H- G5 ^ + G, ~ -h • • • »

(*) Extraits du Tome XLU des Mémoires de V Académie royale des Sciences de Belgique; 1877.

SUR LES PERMUTATIONS ALTERNÉES. l'J^

et, par cela seul, il établit, entre ces deux développements, le rapprochement qu'il faut établir. De plus, il considère, comme on le voit, non pas le coefficient fractionnaire de a/'f mais le coefficient entier de

jp- Enfin, par des considérations tirées des développements euxmêmes, il obtient, pour calculer les nombres G, la formule

2G„+, = C„GoG„-4- C^G,G;,,H-C,,G2G«2 + - • H- C^G,,Go,

qui se confond avec celle que nous avons obtenue plus haut (6) pour le calcul des nombres A.

Après ce travail de M. Catalan, il ne restait plus à découvrir que la signification combinatoire des nombres G, lesquels n'élaient encore définis que par les développements mêmes où ils figurent. Ce problème est résolu par le présent travail. Il est clair, en effet, que les coefficients G et les coefficients A ne diffèrent point. Or, d'après ce qui précède, les nombres A possèdent une définition combinatoire très simple, très nette, et par conséquent une existence propre, indépendante de tout développement.

Ainsi, la noiion des permutations alternées donne la signification combinatoire des coefficients des développements de séco? et de tango?, tout comme la notion des combinaisons simples donnait celle des coefficients du binôme. La meilleure manière de définir le coefficient de a?" dans le développement de ( I 4-0?)'", c'estde dire qu'il est le nombre des combinaisons simples de m objets n k n.De même, la meilleure manière de définir le coefficient de — dans le développement, soit de

tango?, soit de séco?, c'est de dire qu'il est la moitié du nombre des permutations alternées de n éléments.