V. — Divas développements et séries

13. En tenant compte de la forme, facile à déterminer, des développements de coto? et de coséco?, s'appuyant sur les développements

176 l>. ANDRÉ.

obtenus (11) de séca? et de tango?, et s'aidant des identités simples

I j: I JC

cota7= "Cot tanff— )

coséco? = - cot - H — tans ~ ^

on arrive à ces deux développements :

cota? = —

I 2 — i A, j? 2' — I A3 Jc' 2^ — I A5 x^

COSeCOJ = - 4- -5 ï -h -T 3 ÔT -»~ -6 1 FT H

14. En difFérentiant par rapport à x les développements de tangx, cot.r, séco: et coséco?, on obtient les résultats suivants :

séc^o" = A, -h A3 ^ -+- As |y -+- A, ^ -f- . . -, •

cosec^ip = - ■ ' ' '

sécortangx=: Aj-^ -+-A4^ -f- A^^ -f- Ag— H »

I 2 — I A. 2'^ — I A3 x^ 2^ — I Ag .r^ coseca? cota? = — ^ 7 7 -r -. r 77

15. En intégrant les formules qui donnent tangue, cota?, séca? et coséca:, et choisissant convenablement les constantes d'intégration, on arrive à ces développements :

Lcoso^ — — A,^ — "^^TT ""^'^ëT — *^^8T '

|. .. j A, iT* A, a.* A-, x' A- X*

l.&inx-i.x—- ^^—-^ — - -^—- ^ -- -^—- — - -^—- —

L tang L - = '- -- 4- i —

2* I Ag ^* 2"^ I A- ^*

■+" ^ëlTT ^ 6! "*" 2»^=^ 2^ 8T "^

16. En comparant les développements de séco?, tangj?, cota? et coséca- qui précèdent aux quatre formules connues :

secj? = 7:> ^ 1

tango? =- 2x\

1 ^'M-iYj-jr'

cota? = — h 2iP

a: Ldt^^ — ^*'ï^'

cosécj?= - -h 2a?\ -^ — -z-T,

on obtient, pour toutes les valeurs de n entières et supérieures à zéro, les égalités suivantes :

,»n-Hl 3î;»4-l "^ 52n-Hl ^2/1-^1"" "~2(2/l)!\2y '

I I I I I Aj„, /irV"

7ï^ -+- 32ÏÏ -*" 52ÏÏ -^ ^ -^ "2 (27r^^V27 '

I I I I I A,rt-i "ï^"*

j J^J L^ — a'^-'-i A,^,^ /Try

dont la troisième et la quatrième peuvent se tirer de la seconde.

17. Toutes les formules (13, 14, 15, 16) de ce paragraphe étaient déjà connues; mais l'introduction du symbole A„, moitié du nombre des permutations alternées de n éléments distincts, leur donne, selon nous, un nouveau degré d'intérêt.

/oitrn. de Math, (3* série), tome VU. — Mai i88i.