VI. — Remarques sur les fondions elliptiques

18. La fonction elliptique X(a7) satisfait, comme on sait, à l'équation différentielle

(Êy='-(»-^*^)^*-^**^*'

et se développe, suivant les puissances ascendantes de la variable x, sous la forme

X(a:)=^-P.fyH-P.fj-P,^4-

dans laquelle P,, P^, P3, ... sont des polynômes déterminés, entiers par rapport au carré k^ du module.

Or, Téquation différentielle qui précède nous montre que, lorsque ^= I , la fonction X (a?) se réduit à l'expression — « lang/a?, dans laquelle i représente ^— i . Si nous nous reportons alors au développement donné plus haut (11) pour tangiP, et que nous représentions toujours par A„ la moitié du nombre des permutations alternées de n éléments distincts, nous voyons que, pour A = i, le développement de \[x) devient

/•• .y»3 ff*i /ir«7

A — A — --uA - A —-1

Il s'ensuit immédiatement que, dans les polynômes P|, P,, P,, . . ., qui sont entiers en k^^ les sommes des coefHcients sont respectivement égales aux nombres A, , A 5 , A^

19. De même, les deux fonctions elliptiques fJL(a?), v[x) satisfont respectivement aux deux équations différentielles

et se développent respectivement sous les formes

v(a?) = I - R, f! 4- Ra|î - R3 fî H- • •>

clans lesquelles Q,, Qj, Q,, ..., R,, R„ R,, ... sont des polynômes entiers en k^

Or, on voit facilement que, lorsque A = i , chacune des fonctions /ji(a?), v(a?) se réduit à sécia:, la lettre «représentant toujours le symbole v'— I.

Donc, lorsque ^ = i, chacun des développements précédents se réduit à

Donc, dans les polynômes Q<, Qj, Q3, . .., comme dans les polynômes R,,'R2, R3, . . ., les sommes des coefficients sont respectivement égales à Aj, A4, Ao, ..., c'est-à-dire aux moitiés des nombres des permutations alternées de 2, 4> 6, ... éléments distincts.