Reprenons la formule fondamentale
(a) 2A„^. = C^AoA„-f-C;,A,A^,-+-C;;AaA;^,H-...-f-C;;A^Ao,
]8o D. ANDRE.
que nous avons établie en commençant (6), qui subsiste pour toutes les valeurs de n supérieures à zéro, et oii les coefficients C^^, C,^, Cf^, .'. ., C^' sont ceux de la r^^^^ puissance du binôme.
Celte formule constitue une relation du second degré entre les nombres A. Ce n'est point la seule relation de cette espèce qui existt* entre ces nombres; nous allons facilement en établir plusieurs autres.
Pour cela, prenons simultanément les deux formules
tang (^^ + -j = Ao ■+- A, -^ + Aj ^ H- A, 3; +• • •.
/it x\ , . X . x^ . x'
que nous avons déjà considérées (il). En les multipliant membres à membres, et remarquant que le produit des deux premiers membres est égal à l'unité, nous trouvons la formule
(^) c:AoA„-c,:a,a„. + c:a,a„^,-...±c;;a„a„ = o,
qui est encore une relation du second degré entre les nombres A, où les coefficients C ont la même signification que dans la formule fondamentale, et qui se réduit à une identité évidente lorsque l'indice n est un nombre pair.
Cette seconde formule, combinée avec notre formule fondamentale, nous fournit immédiatement les deux relations
dont la seconde a été donnée (* ) déjà par M. Catalan, dans le cas particulier où n est un nombre pair.
22. On trouve encore des relations du second degré entre les (*) Loc. cit.
SUR LES PKRMUTATIONS ALTERNÉES. l8l
nombres A, en partant de l'identité
(i -tangf ) tang(^ "^ f ) = ' -^ ^^^ëq' On arrive ainsi, en effet, aux deux relations
(£) 2"'A,„=3C;„A,A,„, + a»C,'„A,A,^3 -+-...+ a'—qr A,„. A,.
^"^ ' • oT* A A -4- j^oî/ï-ir^" A A
qui ont été trouvées déjà par M. Catalan (*), et qui sont vraies pour toutes les valeurs de n entières et supérieures à zéro.
La seconde de ces formules nous montre que, pour toutes ces mêmes valeurs de n, le nombre Aa,,^., est divisible par 2". C'est une propriété fort curieuse du nombre A 2^+1 • H s'ensuit que le nombre des permutations alternées de aw -f- i éléments distincts est toujours divisible par 2"^*.
23. Pour obtenir, entre les nombres A, des relations du premier degré, il suffit de partir des identités
tango? cos.r = sinj?, sécorcosiT = I,
d'y remplacer chaque ligne trigonométrique parson développement, puis d'égaler dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de X. On trouve ainsi, après quelques transformations très simples, les deux formules
['^) ^2«H ^2«-Hl ^2«+f A««-l "^ ^2/1+1^2/1-3 . . .it C.^,,^, A, = (— l )",
(5) C'„A,„-q„A„^, + Ci„A,„,-...±C^::A.r^o.
(') Loc, vit.
r^a première de ces deux formules montre immédiatement que, quand 2/1 H- I est un nombre premier, A^^,^, — (— i)" est divisible par ce nombre. CVst là une propriété remarquable des coefficients du développement de tango?.
24. On peut encore obtenir deux relations du premier degré en considérant les deux identités
(i H- cos2a?)séc'a? = 2, (i H- cos2a?) séCtT tanga? = 2sin»r,
et utilisant les développements obtenus plus haut (14) pour séc^xet pour sécj? tango?. On trouve ainsi
y*) ^'1/1-1^2/1 — ^C^^.^Ajrt-jH- 2'Cjj„ jAj,,-! — ...± 2*''~'C2fl,={-' i)"~ .
25. Dans chacune des relations du premier degré qui précèdent, les indices des nombres A sont tous de même espèce : tous pairs ou tous impairs. On peut obtenir facilement l'expression de Aa^+i en fonction des A précédents d'indices pairs, et aussi celle de Ain en fonction des A précédents d'indices impairs.
Considérons, en premier lieu, l'identité
tangic = séciP sino?,
remplarons-y chaque ligne trigonométrique par son développement, et identifions les résultats Nous trouvons
^) A2„4^i = C«2„^, Aj,, Cjj^^, A2n-2-l- Cj,,^, Aj^, — .. ^C^^^iAe-
(considérons, en second lieu, l'identité
sécop tanga? = séc^ic sin or.
et identifions encore les résultats qu'on obtient en remplaçant par son développement chacune des quantités séca? tanga?, séc^ j? et sino?. Nous arrivons à cette nouvelle formule,
26. Enfin on peut obtenir une relation du premier degré où figurent tous les indices consécutifs n, n — i , n — 2, — En partant, en effet, de Tidentiré
tang(^^ H- - j (^cos - - sin - ) = cos - + sin -, on parvient à l'égalité
/? étant Ja partie entière de la fraction
27. Toutes les formules qui précèdent peuvent être employées au calcul de proche en proche des nombres A, mais elles ne sont pas toutes également commodes.
Parmi celles du second degré, les plus commodes sont les formules (7) et(ô). Elles permettent chacune de calculer les nombres A environ deux fois plus vite que par la formule fondamentale (a). Elles offrent cet avantage évident de ne présenter à leurs seconds membres ni signes — , ni dénominateurs. On leur peut reprocher d'exiger, pour chacun de leurs termes, deux multiplications.
Parmi les formules du premier degré, les plus commodes sont les formules (>?), (5), (X), (ju.). Elles ont le défaut de contenir des signes — , mais leurs seconds membres sont exempts de dénominateurs, et chacun de leurs termes n'exige qu'une seule multiplication.
On peut comparer enfm les degrés de commodité des formules (y ; et (5) d'une part, et des formules (yj), (9), (X) et (|ui) de l'autre. I^
I04 I). ANDRE, — SOB LES PERMUTATIONS SIMUI/TANEES.
raisonnement semble insuffisant pour décider lesquelles sont les plus avantageuses. Je pencherais néanmoins pour les formules (y) et (5), ([ui sont du second degré, mais où les calculs s'effectuent sur des nombres plus petits.
28. Les formules qui précèdent se déduisent toutes d'identités relatives aux deux fonctions séca? et tanga:. En considérant les identités analogues relatives à coséca? et à .cota?, on obtiendrait d'autres formules, en général beaucoup moins simples que les précédentes.
(les nouvelles formules d'ailleurs, de même que celles qui précèdent, pourraient servir à leur tour de points de départ pour de nouvelles recherches. Les nombres A sont liés, en effet, les uns aux nombres de Bernoulli, les autres à ceux d'Euler. A chaque relation entre les nombres A correspond donc une relation entre ces divers autres nombres, laquelle évidemment peut servir à les calculer.
DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION A UNE SEULE VARIABLE. l85
Développement d'une fonction h une seule variable, dans un intervalle donné, suivant les valeurs moyennes de cette fonction et de ses dérivées successives dans cet intervalle;
Par m. h. LÉAUTÉ.
La solution des problèmes ordinaires de Mathématiques consiste habituellement dans le calcul d'une inconnue au moyen de quantités données, et peut, en général, se ramener à la détermination d'une fonction assujettie à certaines conditions.
En Analyse, on regarde la question comme résolue lorsqu'on connaît complètement cette fonction, c'est-à-dire lorsqu'on est à même d'obtenir toutes les valeurs qu'elle peut prendre pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable.
Il n'en est pas ainsi en Mécanique appliquée. Les seules valeurs de la variable à considérer sont alors les valeurs réelles, et, dans la plupart des cas, il suffit de déterminer la fonction cherchée dans un certain intervalle que fixent les conditions mêmes du mécanisme étudié.
C'est là une propriété caractéristique des problèmes de Mécanique appliquée.
Mais, au point de vue pratique, il en est une autre non moins importante. La valeur numérique de la fonction inconnue est seule utile et l'on doit regarder comme équivalentes, dans les applications, toutes les solutions donnant le même degré d'approximation.
En d'autres termes, la forme analytique de la fonction cherchée est
Journ, de Math, (3<^ série), tome VII. — Jcin 1881. ^4
