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presque sans intérêt, et l'on doit se préoccuper surtout de l'approximation obtenue.

I^s considérations suivantes justifient cette manière de voir.

Tout d'abord la solution rigoureuse de la question, si l'on pouvait l'avoir, ne saurait être réalisée en pratique avec une exactitude parfaite et ne vaudrait pas mieux, par suite, que toute solution approchée donnant précisément le degré d'approximation auquel l'état actuel de l'industrie permet d'atteindre.

En second lieu, les équations d'un problème quelconque de Mécanique appliquée sont toujours approximatives, car on est obligé de faire certaines hypothèses sur la constitution et la manière d'êlre des corps qui composent le mécanisme. La solution analytique de ces équations n'est donc pas, en fait, d'une exactitude absolue.

Enfin, la condition à laquelle est assujettie la solution trouvée d'être réalisée ensuite pratiquement exige que les résultats auxquels on arrive soient suffisamment simples. Cette condition seule serait de nature à faire abandonner la solution exacte du problème, si l'on pouvait l'obtenir, pour une solution approchée d'une application plus facile qui, en raison même de cette facilité d'exécution, se trouverait donner finalement une précision plus grande.

Si Ton considère, en outre, qu'en raison des difficultés de calcul il est souvent impossible d'arriver à la solution analytique rigoureuse, on comprendra l'intérêt que présente, en Mécanique appliquée, l'étude des solutions approchées, et de quelle utilité est leur emploi.

Mais cet emploi exige certaines précautions.

On sait, en effet, que les équations approchées ne peuvent pas, en général, être différentiées sans qu'il en résulte des erreurs dépassant les limites admissibles. On peut presque toujours, au contraire, les intégrer sans s'écarter de Tordre d'approximation qu'elles comportent.

Il suit de là que les formules approchées dont on dispose en Mécanique appliquée sont surtout propres à fournir les valeurs moyennes ( * ) des quantités qui y figurent.

(*) Nous appelons valeur moyenne àe /{jc) dans rinlervalle de a à 6 la qiian-

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION A UNE SEULE VARIABLE. 1 87

Il faut donc éviter les differentiations dans le calcul des inconnues du problème, et il y a toujours avantage à exprimer ces inconnues à l'aide des valeurs moyennes des quantités dont elles dépendent.

En particulier, dans le cas le plus simple où l'inconnue ne dépend que d'une seule variable, il y a intérêt à substituer au développement de Maclaurin, où entrent les valeurs de la fonction et de ses dérivées successives en un point déterminé, un autre développement procédant suivant les valeurs moyennes de la fonction et de ses dérivées dans l'intervalle que l'on considère.

C'est ce développement que nous allons indiquer, et les considérations qui précèdent montrent de quelles applications il est susceptible.

I. — Détermination du polynôme en x de degré n tel que sa valeur moyenne et celles de ses n premières dérivées successives, dans un intervalle donné, soient égales à n H- i quantités données.

Désignons par j le polynôme cherché, par Yo, Y,, . . ., Y;, les valeurs fixées pour les valeurs moyennes, dans l'intervalle considéré, de ce polynôme et de ses n premières dérivées; par aet b les valeurs de la variable X, qui limitent cet intervalle, b étant la plus grande.

On doit avoir, par définition,

ZT^ f ydx=^Y,,

— aj dx'' "'

mais, le polynôme j' étant pris sous la forme

1 88 H. LÉAUTlé.

les équations de condition ( i ) deviennent

A„ — ^j-p- +A, ^^^, -f,..,4,A^^, -^^(&-fl)Y,,

Ao^ =(*-a)Y„.

et l'on en déduit

Ao = K.,j Y„,

A I — Kj j Y„ + K2,i Y^, , »

les quantités K<^,, Ka., . . ., K;,+|^„^., étant des coefficients numériques. MuUiplions la première équation (2) par — » la seconde par — — — ^ » • • • » la dernière par l'unité, et ajoutons, nous aurons

ou

j.= P,Yo4-P|Y,+...H-P„Y„,

les quantités Po, P|, . . ., P^ étant des polynômes en x de degré égal à leur indice, et que nous désignerons sous le nom de polynômes auxiliaires.

Il est clair, d'après le raisonnement même qui vient d'être fait, que les polynômes auxiliaires sont indépendants des valeurs de Yq, Y,, ..., Y„ que l'on s'est donné, et ne dépendent que des limites aeib considérées.

Le polynôme y cherché est ainsi déterminé par l'équation qui précède, et le problème posé se ramène à la recherche des polynômes P.

Nous allons chercher la loi de formation de ces polynômes.

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION A UNE SEULE VARIABLE. 1 89

IL — Détermination des polynômes auxiliaires.

Afin de simplifier les calculs, nous supposerons que les limites de l'intervalle dans lequel varie x sont — A et -h A, c'est-à-dire que nous

changerons a; en a? H j après avoir posé b -— a=^ ih.

Les équations de condition ( i ) deviennent alors

où il faut supposer

On en déduit, en tenant compte des degrés respectifs des polynômes "0» "•» • • •» "»'

^^ — ^^ ^t~^ A^ Ij-t-. . .-t- . 1„,

dx dx "*

dx* ~

^ dx "»^

rf«P,Y .

dx*^*^-

" ' dx ""• d*P •^ dx* *«'

rf»7 dx"

rf»P„Y dx'^ '"'

et, par suite, les équations (3) peuvent s'écrire : ^0 r^odoo-hY, r F,dx-\-Y^r P,eir4-...-hY« f P„efe= 2AY0,

'* rf«P,

dx*

Y, r ^^dx + .. -H Y.

'rf^p»

J^^"-^'dœ=^hY,,

IQO H. LÉAUTÉ.

Ces relations doivent être satisfaites, quelles que soient les valeurs données pour ¥«, Y,, . ., Y„; elles entraînent, en conséquence, les équations suivantes :

f F^dx=2h, f Ftdœ = o, f V^doo = o, ..., / P„dx=:o,

Ces équations suffisent pour déterminer les polynômes auxiliaires, car pour chacun d'eux on a un nombre d'équations égal à son degré augmenté d'une unité, c'est-à-dire égal au nombre de ses coefficients.

Elles montrent que chaque polynôme P est indépendant du degré n du polynôme y que l'on veut former, et ne dépend que de son degré à lui-même. Les polynômes auxiliaires forment donc une suite indéfinie parfaitement déterminée.

Ceci posé, remarquons que, si nous considérons les n équations

qui déterminent -~9 elles sont identiques aux n équations

qui déterminent P;,, ; on a, par suite,

dP

chaque polynôme P est donc la dérivée de celui qui le suit