MÉTHODES GÉNÉRALES EN- MATHÉMATIQUES
Nous pourrons écrire ainsi les équations proposées :
(. *. m (D cosa -4- sin(a — <d)
i n cosa
( tangci) = np.
Or la première équation donne
— sinÇ = tanga cosw — sinw -f- ç,
et, substituant ici la valeur de sînck) tirée de la deuxième équation (|3), nous avons
I = (i -h n'/>*) cbs^ûa.
Enfin, éliminant cosco entre les deux dernières équations, il vient
(7) (S^'"^ - ?) V^^f^^iV = tanga - ''/'•
Telle est l'équation qu'il s'agit de résoudre; en effet, connaissant l'angle Ç, la deuxième équation (a) donnera l'inconnue w.
Remarquons que la quantité p = r~~"- ^^^ toujours plus petite
que l'unité; de plus, n étant sensiblement égal à l'unité, la quantité ^i -H n}p^ différera généralement peu de l'unité ; nous pouvons donc former l'équation réduite de la manière suivante :
(^sinÇ - 9)(Vi -h rî'p'Y = tanga — np.
N'ous désignons ici par a la quantité auxiliaire que nous avons jusqu'ici exprimée par w, pour ne pas la confondre avec Tangle w qui est une des inconnues des équations (a). T/équation [p) pour a = i reproduit l'équation (7) et pour a = o donne l'équation réduite
sinÇ — ç> = tanga — np.
a8 Ê. WEST.
Afin de distinguer la valeur fondamentale tirée de celte équation de la valeur | de l'inconnue, nous mettrons ^(/ à la place de Ç dans l'équation réduite, comme nous avons mis qp' à la place dey pour l'exposition de la méthode. Nous aurons ainsi pour équation réduite
(i) £ sin f - y = tanga - nq,
en faisant
I^ solution donnée par Wronski indique que Téquation réduite a été formée en introduisant d'une manière différente la quantité auxiliaire a; l'équation {â) devrait être alors
(Ç)(^-sm|-9J(^v/n-nV^ + ^^ ^^=1 ^-;7^j=tang«-«/'-
Pour a = I on a aussi l'équation proposée (y), et pour a = o on a 1 'equal ion réduite (5)'.
Nous pouvons nous en tenir à l'équation (g), que nous allons d'abord résoudre.
Substituons aux quantités sinij; etcos^j/ les valeurs données par les égalités
sin^j^ = 2 sin ^^ cos-^^J;, I — cosip = 2 sin^-2^.
L'équation réduite devient
m ^4- lanfça n m I .
Désignons par X le rapport suivant, très peu variable pour de faibles
3o K. WEST.
Puisque F(j) est ici sinÇ, nous mettrons pour ¥{w)
sin({/
ou
m <p-h tanga n I -h mX
dF(w) ^^P^"'" d^
(fi)' cosi|;;
9(iiP^) est
(v) (— sînij^ — 9 Wi -h n*X^ sin^iji — tanga -h nX sin<|;,
et, puisque t]; satisfait à l'équation réduite (s), on peut écrire cette quantité
(v)' (tanga — nXsin^){^ i -i- n^X^ sin^ip— i).
La dérivée de ^(iv) prise sur l'expression (v), en ayant égards (c) et (c)', peut s'écrire
— cosiji I v^i -f-n^X* sin^if
(i — X)( I — tanga - . — - \ =:-h ^ |
En développant les radicaux Wi ^n^n'^ et > et faisant
MÉTHODES GÉNÉRALES EN MATHÉMATIQUES. 3l
on a définitivement, pour ^(fv) et ^^ ?
|(tanga— - /iXsinvj;)û, Jcos + [.-Hm^(,-$«^)4-fl«v]-
Faisons dans (X) les substitutions de F((^), (p{{v) et de leurs dérivées, nous obtenons
sin£ = — ^
n (p 4- tang;a
