DEVELOPPEMENT D ONE FONCTION A UNE SEULE VARIABLE. IQI

C'est là une propriété fondamentale des polynômes auxiliaires, propriété qui les fait rentrer dans la classe des polynômes étudiés par M. Appell ( * ) et définis par la relation

Nous reviendrons plus loin sur ce point.

Pour le moment, nous chercherons à calculer les polynômes en question, et, dans ce but, nous les prendrons sous la forme

On voit tout d'abord que, par suile de la forme particulière choisie pourP„, les coefficients Bo, Bf , . . ., B^, forment une suite indépenriante de Tindice du polynôme P que Ton considère, c'est-à-dire qu'ils sont les mêmes dans tous les polynômes P où ils entrent.

En effet, puisque P;,| est égal à -^> on a

et les coefficients sont bien les mêmes que ceux de P„.

Le problème revient donc à déterminer la suite des coefficients Bq, B|, . . ., B„.

m. — Loi deformation des coefficients des polynômes auxiliaires. Fonction génératrice de ces coefficients,

I^s n -h I équations qui déterminent P„ sont, comme nous l'avons vu,

^ P„dx = o, J -^ûtr = o, ...,

'^rf«-*P„ , r-^^rf«P

(*) AppelL) Sur une certaine classe de polynômes {Annales de l'École Normale, 2* série, l. IX; 1880).