H. LÉAUTÉ

elles peuvent s'écrire, en raison de la forme choisie pour P„,

\ /è -i- 1 ! ni I / ^ ' \/4 -M ! ni i /

\ ni n — il \ J ^ ' \ ni n — \l ^^1/ j

On déduit de ces équations^ en partant de la dernière et opérant de proche en proche,

Bo=i, B, = 0, ^-i- — = 0, ^4- — = 0, ...,

et, en général, si /^ est pair,

et si

est

impair,

Ces relations montrent que les coefficients B©, B,, . . ., B„ sont indépendants des limites A et — A considérées, et que ce sont, par suite, des nombres. De plus, B, étant nul, tous les coefficients d'indice impair le seront aussi, c'est-à-dire que, dans chaque polynôme P, les puissances successives de x iront en décroissant de deux unités.

Cherchons la fonction génératrice des coefficients B^,, Bj, . . .; cette fonction est définie par l'équation

9 [x] •= B^, 4- Bao:^ -h ... -h Bj^x*^ -f- . . . ;

multiplions respectivement les deux membres par les deux membres

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION A UNE SEULE VARIABLE. I qS

de l'identité

X* jr-

nous aurons

— BniT-f-B

Bo

Bi,7-V

Bo

Or, d'après la relation (6), le coefficient de x^"^-^* est nul; on a donc, puisque B^, est égal à l'unité,

ce qui donne, pour la fonction génératrice cherchée,

et conduit, pour la valeur d'un coefficient quelconque Ba», à l'expres-

sion

Telle est l'expression générale des coefficients des polynômes auxiliaires; calculons maintenant la fonction génératrice de ces polynômes.