IV. — Fonction génératrice des polynômes auxiliaires
Il nous suffira de chercher la fonction génératrice i^{xz) des polynômes de degré impair, car nous en déduirons immédiatement celle des
Jottrn. de Math, (3" »érie), tome Vil. — Juin i88i. ^5
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polynômes de degré pair. En effet, chacun de ces derniers étant la dérivée du polynôme de degré impair dont le degré est supérieur d'une unité, il est clair que, pour avoir leur fonction génératrice, il suffira de diviser par z la dérivée de vj/(a7s) par rapport à a;. I^ suite des polynômes de degré impair est
Bo^, BofJ + B,Â^^, BoS-hB^A^y
2/. f 4-. . .-f- BjpA^''-,
^ ip — ix ^P I
la fonction génératrice cherchée ^[xz) peut donc se mettre sous la forme
t(;rz) = B,f
ij)'
ùc
(Aj)'+B.J
Ceci posé, formons l'expression
et multiplions-la membre à membre par
ip — I !
B2^(As)^/'4-,..,
e^z^Q-xt
JT»;;»
DÉVLEOPPEMENT d'uNE J^OWCTION A UNE SEULE VARIABLE. IQD
nous aurons
tf{hz)
g»XZ g,—XZ
hz
[hzY
ip-2
(iï
c'est-à-dire
et, par suite,
^[xz)
^hz^Q-hz
(i après la valeur que nous avons obtenue précédemment pour la fonction 9 génératrice des coefficients.
La fonction ^[xz)^.^\. relative aux polynômes de degré impair; pour en déduire la fonction x(a?z) génératrice des polynômes de degré pair, il suffit, comme nous Tavons dit, de poser
on en déduit
f V I d^{xz) , e^z^g^xz
~L dz^- J^o
Il est clair que les deux formules obtenues rentrent l'une dans Tautre, et que Ton peut prendre pour fonction génératrice des polynômes auxiliaires, quelle que soit la parité de leur degré,
'ihz -.,
f,hz f,—hz •
