V. — Propriétés caractéristiques des polynômes auxiliaires

Les polynômes auxiliaires dont nous venons de trouver la fonction génératrice jouissent de deux propriétés qui nous ont servi à les déterminer, et sur lesquelles il est utile que nous insistions.

Ces deux propriétés sont les suivantes :

1° Chacun des polynômes est la dérivée du polynôme de degré immédiatement supérieur;

2*^ La valeur moyenne, dans l'intervalle considéré, d'un polynôme quelconque, est égale à zéro, sauf pour le premier dont la valeur moyenne est égale à l'unité.

La méthode même que nous avons suivie pour la détermination des polynômes auxiliaires montre que les deux propriétés dont il s'agit sont caractéristiques de ces polynômes, puisque c'est en nous appuyant sur elles seulement que nous avons pu les trouver 11 peut n'être pas sans intérêt de démontrer directement ce point important.

Pour cela, remarquons que, d'après la relation

^"-^ = 11' la fonction génératrice de ces polynômes est de la forme

ainsi que l'a démontré M. Appell (*).

On a donc

(*) Appell, loc, cit.

DÉVELOPPEMEWT D UNE FONCTION Â UNE SEDLE VARIABLE. I97

Prenons la valeur moyenne des deux membres^ on obtient, d'après la seconde propriété,

^(s)(moy.O-î=i*

et comme

on en déduit

, ohz o—hz

^(-)=" ^TTTZTJ^'

ce qui donije, pour la fonction génératrice.

^hz.

expression trouvée précédemment.

Nous indiquerons, pour compléter Tétude des polynômes auxiliaires, certaines propriétés particulières qu'ils présentent.

Il a été démontré au § III que ces polynômes avaient tous leurs termes de même parité; nous savons, de plus, que leurs valeurs moyennes dans Tintervalle de — A à + A sont toutes nulles, sauf en ce qui concerne le premier. Si donc nous prenons un polynôme de degré impair autre que celui-là, il devra avoir des valeurs de signes contraires |)our — A et H- A d'après la première propriété rappelée, et des valeurs égales d'après la seconde.

Il en résulte que tous les polynômes de degré impair admettent pour racines — A, zéro et -l- A, excepté le premier qui, ainsi que nous Tavons vu, est égal à x.

Quant aux polynômes de degré pair qui sont les dérivées de polynômes de degré impair, ils auront tous, d'après le théorème de Rollc, au moins une racine réelle comprise entre — A et zéro, et au moins une entre zéro et -+- A,

Il est d'ailleurs facile de reconnaître que les polynômes auxiliaires, quelle que soit la parité de leur degré, ne peuvent avoir dans l'intervalle de —A à -f- A d'autres racines réelles que celles indiquées. En effet, considérons l'un quelconque d'entre eux, P„ ; ses dérivées succes-

rpS B. LÉAUTE.

sives sont ?;,, , P^-s» . . . , Pm Pq ; si Ton substitue dans P;^, , ?;,-$, . . . r P» les quantités — A et H- A, les résultats obtenus sont égaux s'il «'agit d'un polynôme de degré pair, et sont nuls si c'est un polynôme de degré impair que l'on considère. Il n'y a donc pas de variation perdue

jusqu'à Pa qui, étant égal à — 5 — | — > est positif pour — A et H- A. Mais

P, passe de la valeur —A à la valeur -f-A et P^, reste égal à l'unité; deux variations sont par suite perdues et, d'après le théorème, de Fourier, il y a, au plus, deux racines réelles dans l'intervalle considéré.

Nous ajouterons, pour terminer l'étude de ces polynômes, qu'ils n'ont pas forcément toutes leurs racines réelles. On constate aisément que le polynôme P^ a quatre racines imaginaires représentées par

.=±*0±îi=i

\ l. — Déifeloppemenl d'une /onction dans Vinlen^alle de — h à '\- h en série de polynômes auxiliaires.

Nous avons établi, dans la théorie qui précède, que pour former le polynôme de degré n tel que sa valeur moyenne et celle de ses n dérivées successives dans l'intervalle de — A à -f- A soient des quantités données Y^, Y<, . . ., Y„, il suffisait de former l'expression

où Po» Pf» • •> P« sont les polynômes auxiliaires que nous savons calculer.

Nous avons reconnu de plus que ces polynômes formaient une suite indéfinie et que chacun d'eux était indépendant du degré de polynôme que Ton voulait former.

Il résulte de là que nous pouvons étendre indéfiniment le développement auquel nous sommes arrivé et représenter une fonction qucl-

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION A UNE SEULE VARIABLE I QQ

conque de x, clans l'intervalle de —A à H- ^, par la série

, = P.(mo.v.r« + P,(n>o,,g):>P,(.„,..g)*V....

Nous indiquerons ici les premiers termes de ce développement en remplaçant Po, P, par leurs valeurs oblenues plus haut,

y = (moy. j).,4- 3^ (^moy, ^ j^+ -^^ (^moy. ^,) ^^

+ 3.3! r«>'- ?^).+ 34^^ Hy- .71^ )-.

On voit que, lorsque Tintervalle con^idéré diminue indéfiniment, c'est-à-dire lorsque h tend vers zéro, la série précédente devient celle de Maclaurin, ce qui pouvait se prévoir a priori.

Dans la plupart des questions de Mécanique appliquée, il suffira d'employer les deux ou trois premiers termes du développement.

Cela revient à remplacer la courbe représentatrice de la fonction inconnue soit par une droite comprenant la même aire totale et parallèle à la corde extrême, soit par un arc de parabole à axe vertical, détachant une aire équivalente, ayant sa corde extrême parallèle à celle de la

courbe, et tel que la valeur moyenne de y^ soit la même que celle qui

correspond à la courbe. Dans les deux cas, la ligne substituée à la courbe réelle traverse donc cette dernière de manière à déterminer une surface équivalente et à avoir la même direction moyenne.

Il en résulte que les erreurs à craindre dans Tinlervalle considéré seront, en général, moindres que si Ton eût fait usage de la formule de Maclaurin.

Cette formule, en effet, qui donne une grande approximation dans

aOO H. LEAUTE. — FONCTION A UNE SEULE VARIABLE.

les environs du point de départ, expose à des erreurs très sensibles dè& que l'on s'éloigne de ce point particulier.

Or, dans les questions de Mécanique pratique, c'est surtout la marche générale du phénomène qu'il importe de saisir plutôt que son expression exacte en un point donné. Aussi conviendra-t-il, dans la généralité des cas, d'employer de préférence le mode de développement que nous venons de faire connaître.

Remarques sur les Mémoires relatifs à la théorie de la lumièrCy renfermés dans les Exercices d'analyse et de Physique mathématique de Cauchy ;

Par m. Emile MATHIEU.

Il y a plus de dix-huit ans que, m'occupant de la théorie de la lumière, je lus pour la première fois, dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique de Cauchy, les Mémoires qui sont relatifs à cette théorie et que j'en vérifiai tous les calculs avec le plus grand soin. Cette lecture me conduisit presque immédiatement ^ faire différentes remarques sur cet Ouvrage, et je les communiquai, à cette époque, à Poncelet, qui m'engagea à plusieurs reprises à les publier dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, Cependant je ne pus me résoudre alors à publier des critiques sur le travail d'un géomètre qui s'était acquis tant de réputation.

J'ai encore de cette époque plusieurs manuscrits sur la théorie de la lumière, et j'ai publié postérieurement un travail sur cette théorie [Mémoire sur la dispersion de la lumière [Journal de Mathématiques, 1866, et Annales de Chimie et de Physique, l\^ série, t. X)]; toutefois, jusque dans ces derniers temps, je n'avais pas rédigé les remarques critiques dont je parle. Étant aujourd'hui plus connu dans la Science, je ne me crois plus obligé à lamême circonspection, et j'ai pensé qu'elles pourraient avoir encore quelque intérêt, précisément à cause de la célébrité du géomètre auquel elles s'adressent. Ces réflexions portant sur-

Journ. de Math. (3* série), tome Vil. - Jui» 1881. ^6

202 É. MATHIED.

tout sur des considérations physiques ou mécaniques, j'ai pu les retrouver sans peine, et mes souvenirs, au bout de dix-huit ans, ont été assez précis pour que la Note que je publie diffère peu, je crois, de celle que j'aurais publiée à cette époque.

Ces remarques sont si faciles, que je suis porté à croire que plusieurs géomètres se les sont faites à eux-mêmes; mais, comme elles ne paraissent pas avoir été publiées, elles peuvent avoir encore quelque utilité.

Premier Mémoire, — Quoique ce Mémoire ait pour titre : Sur les mouvements infiniment petits d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, le but de Tauteur est d'établir les principes de la théorie mathématique de la lumière.

Après avoir établi les équations différentielles du mouvement, et après avoir supposé que la constitution du système donné de molécules est partout la même, il imagine des ondes planes qui se propagent parallèlement à elles-mêmes, et dont le mouvement satisfait aux équations différentielles; les déplacements Ç, yj, Ç de chaque molécule se trouvent être des expressions trigonométriques de la forme

acos[ux -]-çy -i- wz — st), b cos[ux '\- vy -^ wz — st)y ccos[ux -{-vy -{-wz — st),

multipliées par une même exponentielle

K, S sont des constantes et R est la distance de la molécule vibrante au plan

(a) Ua?-t-Vx-hWz = o.

D'après ces formules, le mouvement se propageant en ondes planes parallèles au plan

ux -h {fy-hwz = o.

THÉORIE DE LA LUMIÈRE. 2o3

chaque molécule décrit, en gènèraU une ellipse dont Tauteur donne les équations.

Or, il est aisé de voir que le mouvement vibratoire elliptique ne peut, en général, se propager dans un cristal. Si, en effet, un rayon polarisé elliptiquement tombe, par exemple, sur un spalh d'Islande, on sait que ce rayon, en pénétrant dans le cristal, se décompose en deux rayons. Tun ordinaire, l'autre extraordinaire, et en général un rayon tombant sur un cristal uniaxe ou biaxe se décomposera en deux rayons dont les vibrations seront rectilignes et correspondront à deux ondes planes différentes.

Si un milieu est isotrope ou que la propagation du mouvement dans Téther s'effectue de la même manière dans tous les sens, un rayon polarisé elliptiquement en tombant sur ce corps donne un rayon réfracté qui est aussi polarisé elliptiquement; mais alors il est inutile de considérer comme simples ces ondes à vibrations elliptiques, puisqu'elles peuvent être considérées comme la superposition de deux ondes planes simples à vibrations rectilignes, de phase différente et rectangulaires entre elles.

A la vérité, certains cristaux sont doués du pouvoir rotatoire et des vibrations elliptiques peuvent s'y propager ; mais il est bien aisé de voir, que les équations de Cauchy ne peuvent convenir à ces milieux. En effet, si dans les équations de Cauchy,

du dv dudw

etc.,

on exprime que le milieu est isotrope, et que par conséquent ces équations ne changent pas de forme par une transformation de coordonnées rectangulaires, alors, d'après un calcul extrêmement facile, longuement développé par Cauchy (p. loi à i23), on reconnaît que 5 et Q sont des fonctions de a^H- ç^'-f- w^ et (uo/rp. 187 à 142) il ne se produit que deux ondes planes simples parallèlement à un plan donné, * l'une dans laquelle la vibration est transversale, l'autre dans laquelle la vibration est longitudinale. Or, si Ton prend une dissolution douée du pouvoir rotatoire, elle peut évidemment être considérée comme un corps isotrope, et il résulte des idées de Fresnel, qui ont été sur ce

point adoptées par tous les physiciens et les géomètres, que, parallèlement à un plan donné, il se propage dans ce corps deux ondes planes dont la vitesse de propagation est différente, et dans lesquelles la vibration est transversale et circulaire. Ainsi, sans êlre obligé aucunement de former les équations différentielles relatives au pouvoir rotatoire, on reconnaît que les équations de Cauchy ne peuvent expliquer ce phénomène, même dans le cas le plus simple.

Portons maintenant notre attention sur le coefficient par lequel se trouvent multipliées les composantes!, >?, Ç de la vibration, et qui a pour valeur

R étant négatif et R étant la distance de la molécule vibrante au plan dont Téquation esl (a). Le facteur e"^' est étranger aux phénomènes de la lumière; la quantité de la lumière qui se propage ne doit pas non plus varier, par suite de Textinction, comme e^^^ mais comme e*"'"'*, r étant la distance de la molécule au plan

parallèle aux ondes, comme on peut le démontrer par un raisonne- • ment élémentaire employé dans les Ouvrages de Physique ; de plus, le coefficient m peut varier avec les quantités m, v, iP, qui déterminent le plan [b) et la longueur d'ondulation de la lumière.

Mais ce que je veux surtout faire remarquer, c'est que les équations différentielles de Cauchy doivent être considérées a priori comme ne pouvant s'appliquer qu'au mouvement de la lumière dans les corps parfaitement diaphanes, et, par suite, comme impropres à tenir compte de Textinction de la lumière.

En effet, quand un rayon de lumière se propage en s'affaiblissant, c'est qu'une portion de la lumière ou, ce qui est la même chose, de chaleur rayonnante se change en chaleur obscure en se fixant dans le corps. Si nous supposons que le mouvement se propage en ondes planes d'une certaine couleur ou d'une durée de vibration déterminée, alors, quand l'onde passera d'une position à une position suivante infiniment voisine, une partie du mouvement se propagera sans changer de nature et en conservant la même durée de vibration , une autre partie changera de nature.

âo5

De ces deux phénomènes, on peut n'en examiner qu'un seul, le premier, qui est le plus simple, mais c'est à la condition d'introduire dans les équations différentielles des termes qui tiennent compte de l'absorption de la lumière, ainsi qu'on tient compte en Mécanique des frottements, sans être obligé de connaître exactement leur nature. Il faudra donc, pour avoir égard à l'absorption de la lumière, introduire dans les équations différentielles des termes analogues à ceux que Navier a fait entrer dans les équations différentielles de l'Hydrodynamique, afin d'avoir égard à la cohésion des liquides. Ce n'est qu'à cette condition qu'on pourra introduire dans les intégrales du mouvement vibratoire le coefficient e""^ dont j'ai parlé ci-dessus, et qui exprime l'extinction.

Ainsi, on reconnaît que les équations de Cauchy ont une généralité qui est étrangère aux phénomènes de la Physique. En général, un mouvement simple par ondes planes se ferait d'après ses équations avec vibrations elliptiques, ce qui est contraire au phénomène ordinaire de la double réfraction, et ses équations ne peuvent expliquer la polarisation rotatoire, quand la vibration est effectivement circulaire ou elliptique. Enfin ses équations sont tout à fait impropres à exprimer l'extinction de la lumière.

Deuxième Mémoire, p. 33. — II a pour titre : Sur les mouvements in^niment petits de deux systèmes de molécules qui se pénètrent mutuellement. Comme le dit l'auteur à la page 37, son but, en exposant ce travail, est dans l'application qu'il croit qu'on en peut faire à la théorie de la lumière, en supposant que l'un des deux systèmes soit celui des molécules d'éther et l'autre celui des molécules du corps renfermant cet éther. Rien n'est plus naturel que de faire cet essai; mais, si on l'opère, on peut reconnaître au moins, lorsque le corps est parfaitement diaphane, que, pour rendre compte des phénomènes de la lumière, il faut admettre que les molécules du corps n'ont aucune action dynamique sur l'éther, mais seulement une action statique qui change son élasticité d'une manière variable avec la direction.

Comme je ne veux point exposer ici une théorie de la lumière, je ne m'arrêterai pas à cette question, non plus qu'à démontrer que les équations de Cauchy pour un seul système de molécules ne peuvent expliquer les phénomènes connus de la double réfraction.

Troisième Mémoire, p. i o i . — Sur les mouvements infiniment petits dont les équations présentent une forme indépendante des trois axes de coordonnées supposées rectangulaires ou de deux d'entre eux.

Ce Mémoire est très facile et ne donne lieu à aucune remarque.

Quatrième et cinquième Mémoires, p. 1 33-178 et 212-269, qui traitent de la réflexion et de la réfraction pour les milieux isotropes.

J'ai expliqué ci-dessus que les équations de Cauchy sont impropres à exprimer l'extinction de la lumière. Page i4o, revenant sur les formules du mouvement simple dans le cas où le milieu est isotrope et où la propagation des mouvements vibratoires s'y effectue en tous sens de la même manière, il suppose que, les ondes planes se propageant parallèlement au plan

[b) ux -hvy -hwz = o,

l'extinction de la lumière varie avec la distance R à un autre plan

U^ -f- V7 -H Ws = o.

Il est cependanten quelque sorte plus évident encore, quand le milieu est isotrope, que cette extinction ne peut dépendre que delà distance r au plan [b). J'ai montré ci-dessus que le coefficient qui exprime l'extinction est delà forme e'*'"'*, m ne dépendant que de a, f', W] dans un corps isotrope, m ne dépendra plus que de la seule quantité a^H-ç'^-f-w^'.

Mais arrivons au point le plus important de ces deux Mémoires. L'étude que l'on se propose dépend entièrement de ce qui se passe à la séparation des deux milieux, et il paraît indispensable aussi bien pour les géomètres que pour les physiciens d'entrer à ce sujet dans des considérations mécaniques; cependant Cauchy préfère y substituer des hypothèses purement analytiques, qui n'ont rien d'obligatoire, en s'appuyant sur un Mémoire qu'il a publié ailleurs {Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, 1839, i*** semestre, dans trois articles, p. 374, 432 et 459). Il arrive ainsi à un théorème dont le long énoncé (p. iSaet i53) est a priori bien peu satisfaisant pour servir de base à une théorie.

Or, je veux montrer combien la manière de raisonner de Cauchy

dans cette question est dangereuse, en faisant une hypothèse mécanique beaucoup plus vraisemblable et bien plus facile à comprendre que ses hypothèses analytiques, mais qui a beaucoup d'analogie avec les siennes et qui présente exactement la même faute.

Cette hypothèse mécanique consiste à supposer que les forces élastiques développées par le mouvement du fluide éthéré sont égales de part et d'autre au plan de séparation des deux miheux et infiniment près de ce plan.

Soient

Oz la trace du plan d'incidence d'un rayon de lumière simple sur le

plan de séparation ; Oa? une normale à ce dernier plan ; Oy une perpendiculaire au plan d'incidence.

Désignons les composantes, suivant Ox, Oy, Os, des forces élastiques exercées sur un élément plan, suivant que cet élément plan est perpendiculaire

kOx par ( N,,T„ T^,

kOy » T„N„T,,

ou à 05 » ( Ta, T,, N,.

En désignant par ?, yj, Ç les composantes de la vibration et par |x un* coefQcient constant, on a, comme on sait,

T.=.(S-|> T.=Ki-i> ^-Kl-â}

Sur le plan des y, s à la limite du premier milieu, Ç, >j, Ç doivent être remplacés par la somme des composantes des vibrations du rayon incident et du rayon réfléchi; dans le second milieu, §, >?, Ç sont les composantes de la vibration du rayon réfracté.

Le rayon étant pris simple et polarisé, on peut le supposer décomposé en deux autres rayons simples et tels que les vibrations de l'un

â08 é. BIATHIEU.

soient perpendiculaires au plan d'incidence et les vibrations de l'autre soient dans ce plan.

La quantité [x est celle que Ton désigne sous le nom d'élasticité dans la théorie de la lumière; d'après Fresnel, cette élasticité serait égale dans les deux milieux ; or, en admettant cette hypothèse et en supposant, suivant l'ordinaire, que la phase ne change pas dans la réflexion et la réfraction, voici ce que l'on trouve par des calculs faciles :

1® Si la vibration est perpendiculaire au plan d'incidence, l'hypothèse de l'égalité des forces élastiques de part et d'autre du plan yOz détermine complètement les mouvements réfléchi et réfracté, et l'on obtient précisément les formules de Fresnel.

2® Si la vibration est située dans le plan d'incidence, l'hypothèse de l'égalité des forces élastiques détermine encore complètement les mouvements réfléchi et réfracté. Des deux équations que l'on obtient, l'une s'accorde avec les équations de Fresnel, mais l'autre qui provient de l'égalité des forces Ta est en contradiction avec ces équations.

Donc, le rayon étant supposé polarisé dans un plan quelconque, la théorie de Fresnel conduit à l'égalité des forces

au contact des deux milieux, mais non à l'égalité des forces Tj.

Néanmoins, il n'y aurait pas à hésiter dans un choix entre ces deux théories; en effet, dans la théorie de Fresnel, le principe des forces vives est satisfait; dans celle que je viens d'indiquer, il ne l'est pas. Je vais maintenant démontrer que la théorie de Cauchy présente exactement la même faute.

En effet Cauchy met, page 170, ses équations de condition relatives à la surface réfléchissante et qui doivent avoir lieu pour a? = o sous cette forme :

dz dy dz dy

d^ ^ — f^ __ ^ dx dz dx dz

dy dx dy dx

Les trois premières équations s'accordent avec celles de Fresnel, et on le vérifiera de la manière suivante :

1® Si la vibration est perpendiculaire au plan d'incidence, on aura

et ces trois équations reviennent aux deux équations de Fresnel. 2° Si la vibration est située dans le plan d'incidence, on aura

d\ (R! dx, dx:

et ces trois équations se réduisent à une seule, qui est encore une des équations de Fresnel.

Quant à l'équation (4ô), on voit aisément qu'on doit la rejeter, parce qu'elle est, en général, en contradiction avec le principe des forces vives.

Ordinairement on suppose une relation d'égalité entre les deux milieux éthérés ; ou l'on admet avec Fresnel que l'élasticité de l'éther est la même dans les deux milieux, ou l'on admet avec Neumann que la densité de l'éther y est la même. Cauchy, au contraire, a établi ces formules en ne supposant aucune relation entre les deux milieux. C'est seulement à la page 246 qu'il particularise ses formules de manière qu'un rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence puisse, sous une incidence convenable, disparaître dans la réflexion : fait d'expérience peu propre à servir debase à une théorie physico-mathématique. (En effet, en Physique mathématique, on ne doit pas partir de faits d'expérience, mais on doit les retrouver d'après les principes physiques d'où l'on est parti.) Il obtient alors des formules qui donnent les mêmes lois expérimentales que celles de Fresnel ; elles ne sont pas cependant identiques, car il est enfin obligé d'établir une relation d'égalité entre les natures des deux milieux qu'il écrit ainsi (p. 248),

('9) r:ïrF = r:rr'

et qui n'exprime pas l'égalité d'élasticité des deux milieux, adoptée par Fresnel.

iourn. de Math, (3« nérie), tome VU. — Jois 1881. ^7

aiO E. MATHIEU.

Désignons par « la vitesse des ondes transversales, par ù la vitesse des ondes longitudinales dans le premier milieu, par «', iî' les mêmes quantités dans le second milieu. L'équation (19) peut s'écrire

^, p représentant les vitesses w, w' des ondes de même couleur dans les deux milieux; donc cette équation peut s'écrire

=5w«=^w'* ou û = n'.

Ainsi, Cauchy admettant que le mouvement de l'éther peut se propager en ondes longitudinales, l'équation (19) exprimerait, bien qu'il ne le dise pas, que les ondes simples longitudinales se propagent avec la même vitesse dans les deux milieux.

Mais ce qu'il importe surtout de remarquer, c'est que la formule (19), substituée à la condition de Fresnel, empêche que le principe des forces vives ait lieu, et que par cette seule raison la théorie de Cauchy pourrait être rejetée.

On se tromperait beaucoup si l'on concluait de ce qui précède que j'admets la théorie de la réflexion et de la réfraction à la surface des corps isotropes telle qu'elle a été donnée par Fresnel; je n'ai, au contraire, aucun doute que ce soit la théorie de Neumann sur cette question qui soit la vraie. Si j'ai comparé la théorie de Cauchy à celle de Fresnel, c'est qu'elles ont beaucoup de rapports entre elles, et l'on doit reconnaître combien les considérations si simples de Fresnel sont supérieures à tous égards à ces deux Mémoires si compliqués de Cauchy.

Les formules qui viennent de nous occuper sont précédées de formules plus générales, d'après lesquelles il n'existe plus d'angle de polarisation complète; alors la vibration du rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence ne s'annule pour aucune valeur de l'incidence T, mais devient seulement minimum et très petite pour une valeur y de t.

Le principe de la conservation de la force vive n'est plus rigoureu-

sèment applicable, une petite quantité de lumière du rayon incident étant perdue par absorption ou diffusion, et il faut faire subir des modifications très petites aux formules de Fresnel ou à celles de Neumann, relatives à la réflexion et à la réfraction.

D'après ces formules, la vibration réfléchie pour un rayon incident polarisé perpendiculairement au plan d'incidence s'annule pour t= (p et change de sens quand t dépasse cp. Donc, d'après les nouvelles formules, quand on fera varier l'angle d'incidence entre t = ç — s et T = 'p4-^, s étant très petit, la vibration réfléchie, qui s'effectue d'abord sensiblement dans le même sens que la vibration incidente, vibre en dernier lieu en sens contraire. La vibration du rayon incident étant

désignée par sin -rp- sur le plan réflecteur, Fresnel et Neumann repré-

HTZt

sentent au même moment celle du rayon réfléchi par (^ sin-^- Comme

nous supposons que v ne s'annule plus pour 1 = 9, mais devient seulement minimum, il faut, pour que la seconde vibration devienne de sens contraire à la première, qu'il se fasse un changement continu de

phase; la vibration réfléchie sera donc représentée par ç'sin 27r ( ^ "^ 7 ) * ^ variant depuis une fraction très petite de la demi-ondulation - jusqu'à une quantité très voisine de ±: -• On en conclut facilement qu'un

rayon de lumière polarisé rectilignement dans un azimut quelconque est par réflexion polarisé elliptiquement dans le voisinage de l'angle 9.

Il est aisé de voir que la théorie de Cauchy ne peut représenter ce phénomène ; en effet, cette théorie n'étant pas exacte dans le cas le plus simple, elle ne peut l'être quand le phénomène se complique. De plus, les formules de cette théorie ne donnent pas, pour la différence de phase des deux rayons en lesquels on imagine décomposé le rayon polarisé réfléchi, l'expression désignée sous le nom de formule de Cauchy dans les Ouvrages de Physique.

En effet, en désignant par i l'argument de réflexion pour un rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, c'est-à-dire l'angle que la réflexion ajoute à la phase du rayon, on déduit facilement des

formules de Cauchy

T^ sinax

o — cos(t 4-x')cos(t — x') H-7i*sin(x-hT')5in(x-- x')'

en faisant

et désignant par t, t' les angles d'incidence et de réfraction. Suivant Cauchy, le rayon composant, polarisé suivant le plan d'incidence, ne subirait pas de changement de phase. Donc, si l'on a un rayon de lumière polarisé rectilignement,'la différence de phase des deux rayons composants serait égale à i et fournie par la formule précédente, tandis que les Ouvrages de Physique, après M. Jamin, donnent pour la tangente du changement de phase,

tange = e sinx[tang(x + -z') -f- tang(x — z')'] ^ ^ 1 — 6* sin'x tang(x -hx') tang(x — x')'

€ étant un très petit coefficient. Le Mémoire de Cauchy que je viens d'analyser a paru aussi littéralement dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de iSSg; c'est donc bien cependant le Mémoire auquel M. Jamin dit avoir emprunté cette formule [Annales de Chimie et de Physique, i85o, t. XXIX, p. 286).

Dernier Mémoire^ p. 288. — Il est intitulé : Sur les deux espèces d'ondes planes qui peuvent se propager dans un système isotrope. Le titre du Mémoire indique peu le sujet qui s'y trouve traité. L'auteur se propose de déterminer l'action qui s'exerce entre deux molécules d'éther. Il est conduit à penser que cette action est répulsive et varie comme l'inverse du bicarré de la distance.

Il est bon de remarquer que celte loi n'est pas une conséquence nécessaire de ses formules. En effet, élant arrivé, page 3o4, à la formule

(37) n.= 4:^[J,;./(o J-ry(,,)],

où ù désigne la vitesse de propagation des ondes planes, il dit :

THÉORIE DE LA. LUMIÈRE. 3l3

c( L*équalion {3j) fournit pour ft* une valeur finie, positive et différente de zéro dans deux cas dignes de remarque, savoir :

» 1® Quand le produit r^/{r) se réduit, pour une valeur infiniment grande de la distance r, à une constante finie, mais positive ;

)» 2^ Quand le produit r*/{r) se réduit, pour une valeur infiniment petite de r, à une constante finie, mais négative. »

De ces deux cas, le plus vraisemblable est certainement le second,

mais il y a une infinité de fonctions autres que — jj- {h étant constant),

qui satisfont à ce second cas. Il faut aussi noter que r^ désigne la plus petite distance entre deux njolécules et qu'on peut concevoir que le résultat soit très différent, suivant qu'on substitue dans rJ/(ro) pour r^ la valeur zéro ou cette plus courte dislance; il n'est pas prouvé, par

exemple, qu'on ne puisse pas faire /(r) = -> n étant ]> 4-

D'après la loi que Cauchy adopte pour l'action entre deux molécules d'éther, il trouve que la vitesse de propagation de l'onde à vibrations longitudinales serait infiniment grande par rapport à celle de l'onde à vibrations transversales. Enfin, il trouve que dans le vide la vitesse de propagation des rayons violets surpasserait celle des rayons rouges, en sorte que les rayons qui se propagent le plus rapidement dans les corps se propageraient au contraire moins rapidement dans le vide.

Le point de départ étant déjà très peu probable, un tel résultat doit porter à l'abandonner complètement.

Mais il me semble utile de faire quelques remarques au sujet même de cette recherche.

Sachant que deux corps célestes s'attirent, on ne peut guère admettre que cette action s'exerce autrement que par un corps intermédiaire ; cet objet intermédiaire ne peut être que l'éther, et sans savoir exactement comment se produit cette transmission de la force, on pourrait démontrer qu'elle doit avoir lieu en raison inverse du carré de la distance. Cest de même par l'intermédiaire de l'éther qu'il est naturel de se représenter les actions mutuelles des molécules d'électricité statique.

Mais s'il s'agit de deux molécules d'éther, je ne puis admettre qu'elles agissent l'une sur l'autre par un milieu intermédiaire : rien ne prouve qu'elles soient de forme sphérique; j'ai à considérer leurs actions non à

2l4 É. MATHIEU, — THÉORIE DE LA LUBIIÊRE.

des distances finies^ mais* à des distances infiniment petites; j*admets encore le principe de la réaction égale et directement opposée à Taction, mais je ne vois nullement qu'il soit nécessaire que les deux molécules agissent Tune sur Tautre suivant une fonction de la distance, et, par exemple. Taction entre deux molécules d'électricité dynamique, bien qu'elle s'exerce à distance finie, dépend non seulement de leur distance, mais encore de leurs vitesses. Cependant, comme il serait peu philosophique d'affirmer a priori que cette action entre deux molécules d'éther n'est pas une simple fonction de leur distance, on peut essayer cette hypothèse, et, en l'appliquant aux cristaux à un et à deux axes optiques, on trouve précisément que cette hypothèse doit être rejetée.

En adoptant la théorie de l'élasticité, qui laisse cette action indéterminée, et supposant Téther incompressible, on n'obtient plus dans un corps isotrope qu'une onde à vibrations transversales, et Ton n'est plus obligé de supposer, comme Cauchy, qu'il en existe une autre sur laquelle les vibrations sont longitudinales, et dont le mouvement de propagation est lié au mouvement de propagation de Tonde à vibrations transversales.

Le célèbre physicien Regnauld m'a dit avoir demandé plusieurs fois à Cauchy des formules relatives au mouvement de la lumière dans les cristaux transparents, résultant de ses théories et auxquelles on put appliquer l'expérience, mais que Cauchy ne voulut jamais accéder à sa demande. On peut s'expliquer aisément ce refus, d'après les réflexions qui précèdent.

DETERMINATION DES TROIS AXES d'uN CORPS. 31 5

Détermination des trois axes d'un corps, sur lesquels les forces centrifuges exercent , pendant la rotation, une action maximum ;

Par m. E. BRASSBVNE.

« I** La Dynamique s'enrichit, en 1755, (rune découverte importante et féconde en corollaires. Dansun petit Mémoire, intitulé Specimen theoriœ turbinum^ Ségner observa que, si, après avoir imprimé à un corps de grandeur et de figure quelconques des mouvements de rotation en tous sens, on l'abandonne à lui-même, il aura toujours trois axes principaux de rotation.... La position de ces axes se détermine par une équation du troisième degré, dont les trois racines réelles répondent à chacun d'eux (Bossut, Histoire des Mathématiques).

On lit aussi dans la Mécanique céleste, Liv. XIV : « redécouverte des axes principaux de rotation, due à Ségner, apporte des simplifications utiles. » Ajoutons que cette découverte, dont Euler ne fait pas mention, a été le point de départ de ses grands travaux, résumés dans son Ouvrage intitulé ; Theoria motus corporum rigidorum, 1765.

Pendant la rotation autour d'un axe principal, les forces centrifuges s'entre-détruisent, mais il existe aussi en chaque point d'un corps trois axes de rotation, sur lesquels les forces centrifuges développées exercent un effet maximum, et Ton peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — 5e en un point d'un corps on détermine les trois axes principaux, et si par chacun d'eux on mène un plan qui dime en parties égales l'angle des plans rectangulaires dont il est r intersection, les trois

ai6

E. BRASSINNE.

perpendiculaires menées par le point donné aux plans bissecteurs seront les axes sur lesquels l'action des forces centrifuges sera un maximum.

Remarquons d'abord que, si Ton prend trois axes rectangulaires quelconques dont Torigine est un point du corps, et si on lui imprime une vitesse de rotation w autour de la ligne des 2, une particule c//w, dont les coordonnées sont x,y, z et la distance à Taxe p, sera sollicitée par une force centrifuge dmpcù^^et^en supposant l'origine fixe, cette force agira sur un levier 5, dont le moment sera dmpzcù^; elle aura deux composantes dmxtù^^ dmycù^ sur les plans zxy zy^ qui agiront aussi sur un bras de levier z. Or, on peut remplacer tous les leviers sur le plan zx par un seul équivalent dont le bras, à partir de l'origine, sera l'unité et la force (ù^fxz dm; sur le plan zy^ le levier unique de même bras aura pour force (a^fzy dm, La somme des carrés des intégrales (en faisant w égal à l'unité) sera le carré d'une résultante totale R agissant sur l'axe des z à une distance de l'origine égale à l'unité. Il est aisé de démontrer qu'en faisant tourner autour de l'origine le plan xOy^ les nouvelles coordonnées x% y, introduites dans les intégrales, n'altéreront pas la somme et leurs carrés ou R^.

2^ Si l'on considère un système de droites passant par le point O

d'un corps solide, et si l'on prend sur la première une longueur O /i = -j-^

sur la seconde une longueur 0/i'= —,•••, A, k\ A", . . . désignant les

moments d'inertie du corps relatifs aux droites successives, le lieu des points /i, n\ n", ... est la surface d'un ellipsoïde dont le centre est O et l'équation

(i) aX^+iY^-t-cZ^— 2rfYZ-2cXZ- a/XY=i.

Les coefficients ont les valeurs suivantes :

a = f{y^-hz'')dm, b = /{x^'-h z^)dm, c = J{x'''^y^)dm, d = Jyzdm^ e^fxzdm^ f=^S^ydm.

Ces coefficients varient avec la position des axes rectangulaires, mais l'équation (1) est toujours relative au même ellipsoïde, puisque les

DÉTERMINATION DES TROIS AXES d'uN CORPS. 217

rayons on, on\ .. ., déterminés par les valeurs des moments d'inertie relatifs à ces droites, ne dépendent pas de la position des axes x,y, z. Par une simple transformation des coordonnées, on ramène l'équation ( I ) à la forme

(2) A^^-hB7^-+-Cz^=i,

dans laquelle les coefficients sont les moments d'inertie relatifs aux axes principaux. Par une transformation inverse, nous reviendrons de la forme (2), supposée connue, à la forme (1) avec ses trois rectangles. Nous ferons usage des formules d'Euler, dans lesquelles nous supposerons (f = o [Mécanique céleste, t. I, p. 73), savoir ;

j? = x'cos^/ H-y cos6 sm^ -t- s'sinôsinvj;,

j' = — a7'sini(/ -{-ycosOcos^ -\- z'sinô cos^J^,

z = — ysinô H- 5'cosô,

Le plan x\ f fait un angle avec celui des xy, et sa trace sur ce dernier plan un angle ^ avec les x. La comparaison du résultat de la transformation avec l'équation (i) donne

— ijx'z' dm = 2(A — B)sinij; cost); sin ô, — ijyz'dm = 2sinôcos6(Asin^<];-+-Bcos^(J; — C).

La somme des carrés des intégrales exprimant la valeur de R^, on aura

(3) [(A-B)sin2i^sine]-H-jsin20[(A— B)sin»t|;+B-C]p = 4R*. Les deux conditions du maximum de R* sont

l sinaS j ^^-=^sin»a(|; 4- 2cos25[(A - B) sin^^ + B - G)]^ j = o,

I sin^esin2(j;{2(A— B)^cos2t{;-+-4(A— B)cos^e[(A— B)sin*t|;4-B-C]j = o.

Si l'on égalait à zéro les polynômes entre les grandes parenthèses, on rouverait, en éliminant ô, un résultat indépendant de ^J^, savoir: (B — C)(A*— C) = o, qui indique l'incompatibilité des deux relations.

Journ, de Math, (3* série), tome VU. — Jullet i88i. ^O

2l8 É. BRA.SSINNE — DÉTERMINATION DES TROIS AXES d'uN CORPS.

Mais on satisfait aux équations (4) de plusieurs manières; 0= o ramène aux axes principaux

Ces systèmes d'angles fixent la position de trois plans auxquels sont perpendiculaires les axes de rotation Oz\ et Ton voit aisément que ces trois aœes centrifuges sont perpendiculaires aux plans bissecteurs des angles plans rectangulaires formés par les axes principaux, ce qui démontre le théorème énoncé.

Dans le cas d'un solide de révolution, A = B, et les relations (4) sont satisfoites par la valeur 6 = 45°, quel que soit Tangle vj;; par suite, les axes du maximum forment un cône droit dont les génératrices font avec Taxe 45*^.

De la polarisation elliptique par réflexion sur les corps transparents, pour une incidence voisine de l'angle de polarisation ;

Par m. Emile AlATHIEU.

Les phénomènes de la réflexion de la lumière à la surface des corps diaphanes isotropes sontfournis avec une très grande approximation par la théorie de Fresnel ou celle de Neumann, qui conduisent à des formules identiques. D'après ces deux théories, il existe un angle d'incidence pour lequel la lumière naturelle est polarisée complètement, angle trouvé auparavant par Brewster au moyen de l'expérience. D'après les recherches de M. Jamin, il existe cependant très peu de substances diaphanes qui polarisent complètement la lumière par réflexion dans le plan d'incidence, ou, autrement dit, pour lesquelles un rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence puisse disparaître extérieurement dans la réflexion sous une incidence convenable ; mais rintensité du rayon réfléchi peut seulement être très petite. Il en résulte que, dans le voisinage de l'incidence calculée par la loi de Brewster, un rayon de lumière polarisé dans un azimut quelconque donne lieu ^àxxïi rayon réfléchi polarisé eUiptiquement, l'ellipse de vibration étant en général très allongée.

Cauchy a donné une théorie de ce phénomène, mais j'ai démontré, dans un Mémoire qui précède, que sa théorie n'est pas admissible.

Il serait bien peu philosophique de rejeter la théorie de Neumann, qui a tant de raisons pour elle et qui donne des résultats si approchés ;

mais il convient plutôt de chercher quelle petite perturbation modifie cette théorie. Cette perturbation provient d'une très petite perte de force vive qui se fait sur le plan réflecteur, en sorte que les rayons réfléchi et réfracté ne prennent pas toute la lumière qui sort du rayon incident.

Imaginons un rayon de lumière tombant sur un corps diaphane et polarisé perpendiculairement au pl;<n d'incidence; je démontre qu'à la rencontre du plan réflecteur il se fait en général dans les rayons réfléchi et réfracté un changement de phase par rapport au rayon incident. Quand l'incidence varie depuis zéro jusqu'à l'angle droit, ce changement de phase dans le rayon réfléchi varie depuis une fraction très petite de la demi-ondulation jusqu'à la demi-ondulation. Quand le rayon incident est au contraire polarisé dans le plan d'incidence, le changement de phase du rayon réfléchi reste toujours très petit. Si donc l'on suppose que Ton décompose un rayon polarisé dans un azimut quelconque en deux pareils rayons, la polarisation elliptique pour une incidence voisine de l'angle de Brewster dépendra surtout du changement de phase du premier rayon composant.

Je donne dans ce qui suit le moyen de calculer ce phénomène.

Rayon polarisé perpendiculairement au plan dHncidence,

1 . Supposons un rayon de lumière rencontrant un corps diaphane et polarisé perpendiculairement au plan d'incidence. Les trois vibrations incidente, réfléchie et réfractée situées dans le plan réflecteur sont perpendiculaires au plan d'incidence et leurs vitesses peuvent être représentées respectivement par

. 27:t , ft %\ . // ô\

sm — > c'smarrf - -h r j> asm27r( -H- ^ jj

X, X' étant les longueurs d'ondulation dans le premier et dans le second milieu, / le temps, t la durée de la vibration, a, |3 étant les changements de phase dans les rayons réfléchi et réfracté ; (^, u sont regardés comme positifs.

Admettons qu'à la surface de séparation des deux milieux les deux

premières vitesses de vibration aient une somme égale à la troisième, et

nous aurons

sin-;: — h i'sinaTrl - -+- ^ 1 = Msm27r^- -I- f/ )*

Nous admettonsavec Neumann que la densité de Téther est la même dans les deux milieux et que l'élasticité est différente. D'après cela, si le principe delà conservation de la force vive a lieu, on obtient, par un calcul connu.

SI ni

i cosi sin^^^ ç'^sin^aTif - -+- ^ j = a^sinrcosr sin^mf - -^ ^)'

(Nous reviendrons d'ailleurs plus loin sur le calcul de cette équation.)

En divisant la seconde équation parla première, on a

l sini COSI sin (^sm 2 7r( - -H r j

/ = usinrcosrsina 7r( - H- ^ j-

Or, s'il n'y a pas d'angle de polarisation complète, c'est-à-dire si, le rayon incident étant polarisé comme nous l'avons dit, le rayon réfléchi ne peut disparaître complètement quelle que soit l'incidence, alors l'équation (i) étant admise, l'équation (2) est impossible. En effet, des équations ( i ) et (2) on tirerait

(^sm2

tan£'(e — r) . 2Tzt

- — ^-7-^ ( sm — j

tang(i-hr) -z

et, pour I H- r = -\

on aurait

i'sin2

la vibration réfléchie serait donc nulle, ce qui est contraire à l'hypothèse.

L'équation (2) a été déduite comme conséquence du principe de la conservation de la force vive ; l'équation (a) n'étant donc plus possible rigoureusement, ce principe n'a plus lieu que d'une manière très approchée et les rayons réfléchi et réfracté ne prennent pas toute la force vive qui émane du rayon incident.

L'équation (2) n'étant plus exacte, nous devons la remplacer par la suivante

l smtcosz sm-^^ psm27r( - H-t )

I = Msinrcosrsmajrl;; "*" FJ "^ Bsm-;; — h Ccos — »

B, C étant des fonctions de i qui restent toujour très petites.

Remarquons que le mouvement vibratoire développe sur le plan réflecteur des forces élastiques tangentielles à ce plan el perpendiculaires au plan d'incidence. L' équation (2) exprimerait que les deux forces tangentielles développées par les mouvements incident et réfléchi ont une somme égale à la force développée par le mouvement réfracté. D'après l'équation ( 3) au contraire, l'égalité entre ces forces élastiques n'a plus lieu rigoureusement. Cette remarque n'étant pas indispensable pour le sujet qui nous occupe, je ne crois pas nécessaire de développer le calcul qui la démontre.

2. Les quantités £/, ^, a, /3 sont indépendantes de /, par conséquent les équations (i), ( 3) reviennent aux quatre suivantes

2Tta 2tc3