COS« \T A / I

«sinrcosr . . fi' ^ — ^'W sinicosi \T A' J\

Or on a

donc, en prenant pour le temps une origine convenable, on a pour l'expression précédente

^ sin'" (^*sin"2 7r( - -+-t ) — w -^-^ • sin'27t( - 4- f , ) •

/?L T. \T Xy sinicosi \t X /J

Multiplions entre elles les équations (i) et (3), puis multiplions

l'équation qui en résulte par — rA .> nous aurons

^ ^ *^ /? sm £ cos i

— sm* ç'*sin*27:(- -Ht ) — u^-r—. r sin*27r(- -t- f , )

pX I . /^ . P\ /t» • 2Tt/ . ^, 2irA = î- -^-^ iMsin27r( - 4- f/ (Bsm hCcos — ;

p sinicosi \T Xy \ T T /

le second membre représente donc la force vive perdue; on peut

Journ, de Math, (3« série), tome VII. - Jiillrt i88i. ^9

l'écrire ainsi

r I R## /%r\c L -L. I .1/ ciii L

pX fn 27:3 , ^ . 27t3

(Bwcos-rf — Cwsin-Tj- jcos-^;^

/^ . 27t3 ^ 27c3\ . /Jt:/ 1

H- f Basiii-^ -hCacos-r-f jsin-^ h

ot, en remplaçant wcos^> wsin-^ par les valeurs trouvées ci-dessus, on obtient

—, — -^, : .fBsinai-B^-C^

/> sin2/(sin2f -i- sin2r) L

- (Bsin2i - B^-+- C^)cos^^ -I- ((:sin2i — 2BC)sin^ •

Pour obtenir la perte de force vive éprouvée par absorption ou diffusion par un parallélépipède incident de longueur X, il faut faire la somme de toutes les pertes éprouvées par les parallélépipèdes élémentaires qu'il renferme, et Ton a

(a) ^ — ., . ''P.^ . r(Bsin2i-B»-C^),

^ ^ sin2f(sin2i-4-sin2r) ^ ^'

quantité qui doit être essentiellement positive.

4. Quant à l'expression de la force vive perdue par le parallélépipède dont la longueur est - > il est facile de voir qu'elle peut être négative. On peut expliquer ce résultat en admettant qu'une partie de la force vive détournée d'un élément parallelepiped ique puisse retourner à un élément suivant, de telle sorte que certains éléments peuvent gagner de la force vive au lieu d'en perdre. Mais il est évident que l'on doit trouver une quantité positive pour le changement de force vive éprouvée par tout le parallélépipède de longueur X, changement qui s'effectue pendant la durée entière d'une vibration, temps plus petit que 7^7 de irillionième de seconde.

POLàRISATlON ELLIPTIQUE PAR REFLEXION. 227

Ainsi Ton a pour toute valeur de i

Bsin2i — B* — C^>o,

et par conséquent B est toujours positif. Pour i = o on aura

donc B, C sont nuls pour e = o et ils peuvent être considérés comme renfermant le facteur sini. Pour « = "> on a, encore

donc B, C renferment le facteur cosi, et Ton peut poser

B = ks\u2ij C = /7îsin2i, k étant positif.

Remarquons que le numérateur de l'expression (a) renferme le facteur cosi au carré, et le dénominateur ne contient ce facteur qu'au

premier degré; donc l'expression (a) est nulle pour i = -? ce qui s'explique aisément, car le rayon réfracté disparait et le rayon réfléchi provient de tout le rayon incident.

5. Ainsi on obtient pour les formules qui donnent les changements de phase a, j3,

^ X sinat — sinar — 2 A: sin 2 «'

tang-/ = ^— ^.

Si Ton change i en — i, r se change en — r d'après la formule

sini

sinr '

OÙ n est l'indice de réfraction; il est d'ailleurs évident que les expres-

sions de tang-^ et tang-^ ne doivent pas changer; donc metk sont des fonctions paires de i, s'ils ne sont pns constants.

m et k sont très petits, donc p est aussi très petit. La valeur de

tang-y- sera elle-même très petite, excepté pour des valeurs de i voisines de celle qui satisfait à Téquation

sin2i — sin2r— 2Asin2/=o;

elle deviendra infinie pour cette valeur de i et changera de si^ne quand i dépassera cette valeur; enfin elle deviendra nulle pour « = 7- Donc, quand on fait varier i depuis zéro jusqu'à -> a varie depuis une

fraction très petite de - jusqu'à -> et a subira la pUis grande partie de

cet accroissement pour les valeurs de i voisines de l'angle de polarisation. Les deux changements de phase a, |3 sont de même sens et, suivant que la quantité m sera positive ou négative, les deux changements de phase se feront dans un sens ou dans l'autre.

D'après les résultats de l'expérience, m tend en général vers zéro, quand l'indice de réfraction n tend vers 1,4 ; il est ordinairement positif quand n est plus grand que i ,4 et négatif quand n est plus petit. Toutefois m et k ne doivent pas dépendre seulement de Tindice de réfraction, ils doivent dépendre encore d'autre manière de la nature du milieu. En effet, si l'on suppose deux milieux identiques séparés par un plan, considéré comme le plan réflecteur, on devra, pour y appliquer les formules précédentes, faire

et non pas supposer m négatif.

Rayon polarisé dans le plan d incidence.

6. Le phénomène des changements de phase a beaucoup moins d'intérêt lorsque le rayon incident est polarisé dans le plan d'incidence,

parce que ces chaDgements restent toujours très petits, aussi bien dans le rayon réfléchi que dans le rayon réfracté.

Les vitesses des vibrations incidente, réfléchie et réfractée dans le voisinage du plan réflecteur peuvent être représentées par

sin2;r( - -h r )> i'sin2;r( - H r — U u sinsTrl -h- £--y7 — u

z, z'j z" élanl nuls sur le plan réflecteur. En projetant pour 2 = o les vitesses sur le plan réflecteur et sur la normale à ce plan et admettant que la troisième composante est égale à la somme des deux premières, on a les deux équations

(1) sin^^^ (^sin27r( - H- y) cos/= wsin 2îr(--h ^, )cosr,

['X) sin h ç'sin27rf - -H y ) sini = wsin27r( ;;:-+- p ) smr.

En multipliant entre elles ces équations, on a

(3) I sin^^ — v^ sin*27r(^ -h ^ j sinicosi = u^ sin'27r(- -h t-,\ sinrcosr,

l'équation de la conservation de la force vive.

Or il est aisé de reconnaître qu'on ne peut admettre les équations (i) et (2); car on en déduirait les quatre suivantes

cosi( I — t'cos-r— j = wcosrcos^>

. 2 7ta . . 2ir3

— V ^*""ir ^^^' ^^ ^ ^^"~T^ cosr,

. ./ 2ica\ . 2ir3

smil I -ht'cos-y- ) = wsmrcos^j

. 2ica . . . 2'ïr3 .

s^ sm-y- sin« = u sm-yf smr, et si a, |3 sont différents de zéro, en divisant la quatrième par la

aSo É, MATHIEU.

deuxième, on a l'équation impossible

-— tangi = tangr

Au reste, le principe de la conservation de la force vive n'étant plus entièrement exact, quand le rayon est perpendiculaire au plan d'incidence, on ne peut admettre qu'il ait lieu rigoureusement quand le rayon est situé dans ce plan. L'équation (3) n'a donc plus lieu; donc, si Ton admet l'équation (i), qui exprime l'égalité des composantes des vitesses des molécules d'éther, prises parallèlement au plan réflecteur, et infiniment près de part et d'autre de ce plan, on doit remplacer l'équation (2) par la suivante

i sin ^^ -h i'sin27r f - -h ?] sin/ = u sin 271 {^-^ -f- !*!) sinr 4- Bsni 1- Ccos — >

où B, C sont de très petites quantités