tang-5-.-tang
27ta' 2'7ta
I 4- tang -^ tang -^
Pour / = o , on a tang -^ = tang -^ et a' — a = o. Faisons
croître /, les quantités m, m! étant très petites, tang -^ est toujours
très petit et tang -y- le sera aussi tant que i différera sensiblement de l'angle de polarisation I ; a' — a restera très petit jusqu'à ce que i devienne voisin de I, puis il atteindra la valeur zh j pour une valeur
de I très- voisine de I, le signe db ayant lieu suivant que m sera positif ou négatif. L'angle / continuant à croître, a! — a s'approchera rapidement de ±: - et atteindra cette valeur pour i — -•
Journ. de Math, (3* série), tome VII. ^ Juillet i8Si. 3o
Pour simplifier, posons
air (a' — a) . . .
— ^^-r^ — - = J, sma? — sinar = y;
a! étant très pelit, on pourra mettre l'équation (a) sous cette forme
2Tca
tang J = — tang -r — h
cos'— r—
Si l'angle / est pris très voisin de I, on pourra remplacer cos* -^ par cos* J ; cette équation pourra donc s'écrire
amsin22 i aica' ^
j — ik sin a i cos* J ^ X ^ *
et, en négligeant le produite tang -r— > on aura l'équation
{h\ k -h mcotJ 4- ", — U — . tang ^ = — ^-..
^ '^ sin2£sin2j ^ X 2Sin2<
ara
Dans cette équation nous regarderons^, m, tang ^^-^ comme des inconnues, et les autres quantités comme des données de l'expérience.
Dans la théorie que j'ai exposée, A, m ne sont pas des constantes; mais, si l'on suppose trois expériences faites pour trois incidences très
peu différentes, les quantités A, ;w, tang — r-— seront à peu près les
mêmes pour les trois expériences et les trois équations {h) détermineront sensiblement leurs valeurs.
En prenant i suffisamment près de I, / deviendra très petit et le troi-
POLARISATION ELLIPTIQUE PAR RÉFLEXION. a'35
sième terme de {b) négligeable; on aura donc Téquation {c) A-f-mcotJ
a sm 2 2
et il suffira de deux expériences pour calculer m et k.
Si Ton prend pour unité l'intensité d'un rayon incident polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, l'intensité du rayon réfléchi qui en résulte sera
j [(i — a X:) sin ai — sin a r]* 4- ^m*sin*2i
(sinae -h sinar)' '
la valeur de i qui satisfait à l'équation
( I —r 2A)sin2i — sin2r= o est
I étant l'angle qui satisfait à tangl = n, et la valeur de ç^ correspondante sera
« 4 'W* sin* a*
(sinai-f-sinar)*
Applications numériques de cette théorie.
10. M. Jamin ayant soumis à l'expérience un verre dont l'indice de réfraction était
n = 1 ,487, ce qui donne I = 56** 5',
il a trouvé (ilnno/ef de Chimie et de Physique, i85o, t. XXIK, p. 299) : pouri= 55^45'»
pour / = 56**,
pour I = 56** 1 5',
De ces trois résultats on déduit, au moyen de l'équation (c), les trois suivantes :
^-h 1 ,1261 m=r o,oo338, A -h o , 2567 'w = o , 000808, k — 0,6614/^= — 0,001786.
En résolvant les deux premières équations, on trouve
m = 0,002956, A = o,oooo5.
En résolvant la deuxième et la troisième, on a
Ces résultats sont très concordants ; car, k étant très petit par rapport à m, l'erreur relative commise sur k peut être beaucoup plus grande.
Nous avons vu que, si 77i n'est pas constant, il est une fonction paire de /; si Ton pose m = /sin^/, / étant constant, les phases a, ot' sont alors nulles pour 1 = o et les trois équations ci-dessus deviennent
*-f- 0,8104/= o,oo338 * -h o , 1 765 / = o , 000808, k — 0,4573/= — 0,001786.
Des deux premières on tire
/ = o , oo4o54» ^ = o , 00009 ;
et de la deuxième et la troisième
et ces résultats sont encore plus concordants.
M. Jamin ayant expérimenté de Teau distillée dont l'indice de réfraction est
n = 1 , 333, ce qui donne I = 53** 7',
il a trouvé [Annales de Chimie et de Ph/siqne, i85i, t. XXXI, p. 174) : pour/= 53®3o',
J=- ï53*>43'; pour/= 53® 1 5',
J=~ I26^32'; pouri = 52^55',
Des deux premières expériences on conclut
m = — o,ooi52i, k = o, 000083
et des deux dernières
771 = — o,ooi5i6, 4 = 0,000080,
ce qui est très concordant.
J'ai enfin obtenu pour le diamant
1 = 67^40'» /w = o,oi55, 4 = 0,000260.
D'après la théorie, i doit être positif, ce qui s'accorde effectivement avec les calculs précédents; on voit ensuite que dans le verre, le diamant et l'eau, A: est une quantité très petite en comparaison de m; on en doit conclure que la quantité de lumière perdue sur le plan réflecteur est très petite.
Je m'arrête aux applications qui précèdent et dans lesquelles je n'ai déterminé les deux quantités A* et m que dans le voisinage de l'angle de polarisation. En effet, les déterminations numériques de ces quantités doivent être plutôt faites parles physiciens, qui peuvent seuls apprécier le degré de précision de leurs expériences et les multiplier à leur gré.
FORCES CENTRALES. sSg
Sur quelques questions concernant les forces centrales; Pab m. Edouard COMBESGURE.
Ou sait que Binet, dans une Note insérée au Tome II (i" série) de ce Journal, a considéré, au lieu des trois équations ordinaires relatives au mouvement produit par une force centrale, un système de n équations présentant la forme caractéristique des équations mentionnées. Bien que, en ce qui concerne l'intégration, la présence de n coordonnées n'introduise aucune difficulté nouvelle et qu'on puisse se ramener, si Ion veut, au cas de deux coordonnées rectangulaires seulement, il est difficile de méconnaître le caractère d'élégance et de symétrie qui règne dans l'analyse de l'éminent géomètre (*). Cette circonstance m'avait engagé, dans le temps, à considérer un nombre quelconque de systèmes présentant isolément la composition des équations de Binet. Mais une modification plus essentielle consistait dans l'introduction d'une forme quadratique générale à la place du rayon vecteur. Je m'étais occupé, entre autres choses, de cette double généralisation, dans l'une de mes Thèses pour le doctorat, présentées en i858 à la Faculté des Sciences de Paris. Cette Thèse n'ayant paru dans aucun Recueil périodique, il ne sera peut-être pas inutile d'en reproduire, avec quelques légères modifications, le premier paragraphe. I^s paragraphes que
(*) J'hésite d'autant moins à conserver les n coordonnées, que les formules dont je fais usage ne sont généralement pas plus longues à écrire quand on laisse ce nombre n indéterminé.
2/|0 É. COMDESCURE.
j'ajoute ici se rapportent à des transformations dont quelques-unes m'étaient depuis longtemps connues et se présentaient assez naturellement. J'y joins ensuite les formules répondant au cas d'une résistance (lu milieu, formules dont je ne m'étais nullement occupé. Enfin j'applique la théorie à quelques exemples particuliers.
§ I. — Sur un problème de M, Binet.
Dans le Tome H du Journal de Liouville, M. Binet â donné une élégante extension analytique du problème relatif au mouvement d*un point matériel soumis à l'action d'une force centrale. La méthode de l'éminent géomètre peut être étendue, sous un certain point de vue, k im système d'équations de la forme du suivant":
^-R^ ^^-R;r ^^-Rx
(i) ['dt^-^y^ dt^ — *^*rt, ^^t —«2^2
où le nombre des variables de a?,-, j/, js/, . . . peut changer arf3itrairement d'un groupe vertical à l'autre. Mais, au lieu de considérer le carré du rayon vecteur comme la somme des carrés des coordonnées correspondantes Xi, yi, Zi, . . . , je prendrai
^, ij, ... désignant des fonctions homogènes du second degré, de façon que
i ê = ax^ 4- hy^ -h cjs^ -h. .-h aajz -f- aba?^ 4-. ., (2) I i, = a,x\'\-h,y\-\-c,z\-\-,..-\-^^,y,z,'\-:i\^,x,z,-\-,,..
Cela étant, si l'on pose (les accents indiquant les dérivées par rap-
port à /)
( f = ao?'^ -h by^-hcz^ -f-. . .-h 2ajV-+- sb^z'-h. . .,
(3) j Y = axx' -h byy -{-czz' -h . . .-¥ SL{yz' -^ zf) ■^h{xz' -+- sa?')-f-... , ^ * »
en différentiant deux fois de suite Téquation on aura
(-^^ dF- " T"^ ^ ,'^~f' —
• Or, quelles que soient les quantités ^, j^, . . ., ar',y, . .., l'expression J f •— F- revient identiquement à une fonction homogène du second ordre des seuls binômes {oi^' —yoc:'), {zx' — xz')^ ..., lesquels, par une combinaison visible des équations (i), se réduisent séparément ici à des constantes. Donc, en chassant a?", y\ ... au moyen de ces mêmes équations (i), on aura la première du groupe suivant, les autres ayant une origine analogue,
le = ^p-^y^^
i\ k^, ... étant des constantes arbitraires.
Les deux premières équations (i) et(5) donnent
d^a: d^p Ar'.r
P~di^ "^^~~ y
d'où, en posant, d'après M. Binet,
Journ. de Math. (3* 8érie% tome VII. — Juillet i88i.
et prenant df constant, résulte
On a donc
et
