D. ANDR^. — KQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Donc, d*après ce que nous avons dit (5), le polynôme X disparaît, et il vient

La série qui figure au second membre de cette égalité se peut sommer sans même qu'on soit obligé de recourir à la formule générale que nous avons donnée (4). On a, en eflet, immédiatement

Lan 1.2. . .71 ^j 1.2. ../l ^ ^'

et Ton tire de la

i/i — j? yi — 2 Telle est l'intégrale générale de Téquation différentielle linéaire cou-

su

lérée.

De la propagation verticale des ondes dans les liquides;

Par m. P.-A. CORNAGLIA,

Ingénieur en chef du Génie civil, Ancien élève de l'École nationale des Ponts et Chaussées de Paris.

1. Soit une masse liquide en agitation, uniquement par l'effet du mouvement des ondes produites dans cetle masse par le vent, ou par toute autre cause qui agisse d'une manière analogue.

Avant tout, de nombreux faits d'observation prouvent positivement que l'agitation, en certaines circonstances, se propage à des profondeurs considérables.

Il suffit de citer l'exemple du banc de Terre-Neuve, dont la réaction sur les ondes est très sensible aux bâtiments qui s'en approchent, bien qu'il se trouve de 80™ à 160"* au-dessous de la surface de la mer.

Ce fait démontre que l'agitation sur le banc doit être bien puissante pour produire des effets sensibles à travers une colonne liquide de si grande hauteur, et qu'elle doit s'étendre encore bien plus bas.

Par contre, l'agitation devient insensible à une certaine profondeur.

Les matières extraites au moyen de la sonde prouvent que les jdIus terribles tempêtes de l'Atlantique n'ont pas la force de produire sur le fond, le long du plan de pose du télégraphe, une ondulation suffisante

Journ. de M-ith, (3« série)» tome W\. — Septembre iS8x. '^7

2()0 CORNAGLIA.

pour corroder les organismes très délicats qui y sont déposés, ni de les transporter aux alentours, ni même d'y mêler des grains de sable, si fins qu'ils soient (*).

Quelquefois l'agitation devient insensible à des profondeurs beaucoup moins grandes

Les plongeurs sont d'accord pour affirmer que d'ordinaire, à des profondeurs peu considérables, la mer reste sensiblement calme au fond, bien qu'elle soit très agitée à la surface.

Non loin des côtes, et par conséquent à des profondeurs moyennes, mais assez grandes encore pour qu'on ne puisse pas y jeter l'ancre, les navires peuvent tenir suffisamment bien, pendant une nuit entière de gros temps, sur une ancre flottante, descendue à la profondeur d'une centaine de brasses au moins.

L'ancre flottante est formée par une croix de Saint- André sur laquelle on étend fortement une voile; on la suspend à un grelin attaché aux quatre extrémités de la croix.

Ce mode de mouillage ne tient plus si l'on descend cette ancre à peu de mètres seulement de profondeur.

l^a différence de pression sur les deux faces de l'ancre est toujours égale au poids de l'eau déplacée, quelle que soit la profondeur à laquelle l'ancre se trouve; d'autre part, les résistances du navire et de l'ancre flottante dans la direction de leur câble d'union sont opposées l'une à l'autre, et respectivement proportionnelles au carré de leur vitesse relative par rapport au liquide en contact dans cette même direction; on doit conclure de là que, dans ces conditions, l'ancre se trouve dans un liquide ambiant assez tranquille pour pouvoir tenir.

Quelles que soient du reste les causes par lesquelles l'agitation se propage plus ou moins profondément, d'après les faits qu'on vient de citer, elle ne s'étend donc pas au delà d'une certaine limite; et cette limite, contrairement à l'opinion de quelques-uns qui ont voulu trop généraliser certains faits d'observation, n'est pas absolue, mais variable selon les circonstances dans lesquelles l'agitation se produit.

Et comme l'action d'une force s'affaiblit en se transmettant, il s'ensuit que l'agitation doit aller toujours en diminuant d'une manière

( * ) Maur¥, Géographie physique de la mer.

continue^ quelle qu'en soit la loi, à mesure que de la surface on descend vers la limite où elle cesse tout à fait.

On peut représenter cette limite par un plan horizontal, si le fond lui-même est horizontal, et si les ondes sont égales entre elles; c'est ce qu'on doit supposer quand on se propose uniquement d'étudier la propagation du mouvement dans la direction verticale.

D'ailleurs, si des causes exceptionnelles n'interviennent pas, l'observation fait voir qu'une onde, dans un bref trajet, conserve très approximativement la même forme et la même vitesse; et que les ondes qui lui sont immédiatement adjacentes lui sont aussi très approximativement égales, au point qu'on peut les regarder toutes comme telles, et comme animées d'une vitesse uniforme.

Or, dans le plan de la section droite des ondes, les verticales comprises entre la surface du liquide et la limite de l'agitation sont d'autant plus longues que du point le plus bas de l'onde on va vers son sommet, et vice versa, elles sont d'autant plus courtes à mesure que du sommet on s'approche du point le plus bas suivant.

Par suite, pendant le pas>age de l'onde, chacune de ses verticales subit successivement toutes les phases de longueur de toutes les autres comprises entre les deux extrémités de l'onde.

Et comme l'observation montre encore que le liquide ne possède pas un vrai mouvement de translation continu, mais un mouvement apparent dans le sens de l'avancement des ondes ; comme, d'autre part, le liquide est continu et incompressible (* ), et qu'aucune molécule située au-dessus de la limite d'agitation né le dépasse jamais pour venir se mêler avec celles qui se trouvent en dessous, et vice versa, il s'ensuit que l'afflux de liquide vers le sommet de l'onde doit s'opérer moyennant un écoulement correspondant des creux adjacents, et inversement.

L'observation enseigne encore que dans le mouvement des molécules il n'y a pas de confusion : s'il en était autrement, elles s'embarrasseraient Tune l'autre, et bientôt le mouvement cesserait; tandis que les faits démontrent, au contraire, que les ondulations se propagent dans la direction horizontale à de très grandes distances sans diminuer

(*) Incompressible dans le sens entendu par les physiciens, c'est-à-dire qu'il no change sensiblement de volume que sous d'énormes différences de pression.

aga cornaglia.

beaucoup de grandeur, s'il n'intervient pas d'autres causes, et que sur le même point elles durent encore longtemps après la cessation de la cause qui les a produites.

De tout cela il faut conclure que les molécules oscillent entre certaines limites, aussi bien dans la direction verticale que dans l'horizontale, et que les oscillations vont toujours en diminuant à mesure que les molécules se trouvent à une plus grande distance de la surface du liquide.

2. Le colonel Emy if expliqué très plausiblement tout ce mécanisme des ondes de la manière suivante ;

Soit d'abord une masse liquide en repos avec la surface en RR; divisons {fig* i) celte masse en un certain nombre de tronches PmnQ

par des plans verticaux P/w, Q/i normaux à la direction du mouvement de translation des ondes qui se produisent les unes à la suite des autres.

Lors du passage d'une onde, chaque tranche, de volume constant, s'allonge continuellement dans la période montante de l'onde, à partir du point plus bas B jusqu'au sommet A ; et vice versa^ dans la période descendante, elle se raccourcit continuellement à partir du sommet A, jusqu'au point le plus bas B suivant.

Le volume des tranches ne variant pas, la forme doit varier; par conséquent, l'allongement et le raccourcissement suivant la direction

PROPAGATrON VERTICALE DES ONDES. ^gS

verticale se produiront au moyen d'un amincissement et d'un gonflement correspondant suivant la direction horizontale.

En outre, comme à sa base PQ, située dans la surface limite de l'agitation SS, chaque tranche doit rester telle qu'elle était lorsque le liquide était en repos, c'est-à-dire à la même position et de la même largeur, il s'ensuit que les allongements et les raccourcissements dans une direction, et les amincissements et gonflements correspondants dans l'autre direction, bien que produits sur toute l'étendue des tranches, ne pourront cependant pas être uniformes, et seront d'autant plus grands qu'ils seront plus éloignés de la limite d'agitation.

Dès lors, les tranches qui doivent toujoursse juxtaposer exactement entre elles, en vertu de la continuité du liquide, viendront à s'incliner, et, selon leur degré d'amincissement ou de gonflement dans les divers points, se courberont suivant PMNQ, convergeront vers le sommet de l'onde et divergeront de son point le plus bas, de sorte que le déplacement vertical des molécules produit sur elles-mêmes un déplacement horizontal.

Ces déplacements diminuent tous au ftir et à mesure qu'ils s'éloignent de la surface, de telle sorte que l'agitation diminue aussi jusqu'à sa limite.

De tout cela il résulte encore :

1^ Que les couches horizontales R'R' du liquide en repos se gonflent pendant le mouvement dans leur milieu et s'amincissent à leurs extrémités, de sorte qu'elles viennent à se plier suivant une courbe B'A'B' qui représente l'onde interne correspondante au niveau primitif R'R';

2^ Que les molécules situées sur la même verticale Pm dans le liquide en repos viennent dans le mouvement à se disposer sur une autre courbe PM, qui passe par le pied P de la verticale dans la limite de l'agitation, et qui converge vers le sommet et diverge du point le plus bas de l'onde.

Les molécules se trouveront donc au point d'intersection des courbes respectives des deux systèmes différents.

Et comme, dans le passage d'une onde entière, chaque tranche passe successivement par toutes les formes que prend le nombre infini de tranches dans lequel on |.eut imaginer divisée la masse liquide, il s'ensuit que la suite de tous les points d'intersection d'une même onde

^94 GORNAGLIA.

interne, rapportés à la même verticare, représentera les trajectoires des molécules situées au même niveau dans le liquide en repos, ou bien sur la même onde interne lorsque le liquide est en mouvement.

De plus, si Tonde suivante est égale à celle que Ton considère^ comme on Ta supposé, puisque leurs tranches correspondantes sont identiques dans toutes les deux, il s'ensuit que la même molécule devra se trouver périodiquement, à l'intervalle d'une onde entière, précisément à la même position qu'auparavant, et sa trajectoire, dans ces conditions, sera une courbe fermée.

Les axes horizontal ei vertical de cette orbite indiqueront les limites des oscillations des molécules dans ces directions.

Mais les molécules situées sur une même verticale dans le liquide en repos doivent toutes se mouvoir, au même moment, dans des conditions analogues ; quand Tune d'elles s'élève, par exemple, toutes les autres, jusqu'à la limite de l'agitation, s'élèvent aussi, quoique en difFérente mesure, et toutes passent au même instant par les mêmes particularités du mouvement.

Par conséquent, les ondes internes et l'onde visible, suivant lesquelles se disposent les molécules qui sont au même niveau dans le liquide en repos, et les orbites décrites par les molécules situées sur la m^me verticale dans le liquide en repos, doivent être toutes des courbes synchrones, quelle que soit la loi de propagation du mouvement dans la direction verticale.

En d'autres termes, les ondes internes ont la même amplitude et sont disposées de la même manière que l'onde visible, tout en diminuant de hauteur à mesure qu'elles sq trouvent plus bas, et les orbites, dont la forme est en corrélation avec celle des ondes, sont décrites en temps égaux, bien qu'elles deviennent de plus en plus petites à mesure qu'elles se trouvent à des profondeurs plus grandes.

3. Tout cela est parfaitement d'accord avec les phénomènes que l'on observe dans la nature.

En effet, lorsque la mer est suffisamment agitée et que les eaux sont claires, s'il s'y trouve des corps en suspension, des brins d'algue par exemple, on aperçoit que les corps situés sur la même verticale ont tous au même insta^nt un mouvement vers le lai^e quand ils se

PROPA.GATION VERTICALE DES ONDES. 2gS

trouvent dans le creux de Tonde, et vers la rive, quand ils se trouvent au contraire sur le dos, c'est-à-dire dans le flot, abstraction faite de la grandeur des mouvements qui sont plus prononcés vers la partie supérieure.

On ressent les mêmes effets quand on se livre à l'exercice de la natation, surtout quand on se tient debout sans faire aucun mouvement, et si Ton se trouve à une profondeur à peu près égale à la hauteur de la personne.

Évidemment, cela n'arriverait pas si à toutes les profondeurs les agitations n'étaient pas synchrones.

4. D'après cela, et quoi qu'il en soit de l'explication donnée des différents phénomènes natiu*els qu'on a cités, il est incontestable que le mouvement vertical des molécules y produit un mouvement horizontal correspondant.

Il s'agit (le déterminer ces divers mouvements.

A ce sujet, il est à noter que les méthodes générales de la science abstraite et pure, rigoureusement suivies jusqu'à présent sur cette matière, n'ont pas encore permis d'arriver à des résultats d'un usage vraiment pratique; et cela à cause du caractère des expressions algébriques auxquelles on parvient : ce qui leur a fait donner par Lagrange le nom de rebelles.

Dans cet état de choses, l'ingénieur, dans les questions d'art, se trouve abandonné à ses propres appréciations, lesquelles sont plus ou moins justes, selon que ses observations sont plus ou moins complètes et exactes, et ses déductions plus ou moins légitimes.

De là les interminables discussions qui sont pour ainsi dire une caractéristique des questions de travaux maritimes. C'est pourquoi, ayant essentiellement en vue de donner des règles qui soient au moins suffisantes à l'ingénieur pour ses applications, on suivra une méthode spéciale : à l'aide des faits constatés par l'observation, on suivra pas à pas et de près le phénomène, en appliquant séparément les principes à mesure que l'on verra se présenter de nouvelles circonstances pouvant exercer une influence sur son développement, et en laissant de côté tout ce qui compliquerait inutilement les procédés et les résultats analytiques.

aq6 CORNAGLIA.

5. Si Ton connaissait les forces qui les produisent, on obtiendrait directement la détermination des mouvements cherchés.

Or, à ce propos, on doit noter que chaque effet est proportionné k la cause qui le produit et vice versa ; de sorte que, par les données de Tonde elle-même, qui est un effet, on peut en apprécier la cause, c'està-dire l'intensité et la direction de la force qui produit cette onde, ou qui est capable de la produire, en même temps qu'elle est capable d'engendrer les divers mouvements qui se développent dans la masse liquide

Ceci posé, un point quelconque d'une masse liquide dans les conditions d'agitation énoncées plus haut se trouve simultanément soumis:

1° A l'action produite par le déplacement de cette protubérance de liquide qui forme l'onde visible;

2^ A Ih réaction des molécules qui l'environnent dans leurs mouvements. Dans la réaction des molécules sont compris les effets du frottement dû à la viscosité; mais comme, d'après ce qu'on a dit, les faits démontrent que la diminution de l'agitation est très lente par rapport au temps et à la distance, on peut négliger le frottement dû à la viscosité du liquide, et restreindre cette réaction à l'impulsion ou à l'empêchement réciproque que les molécules en mouvement exerceift, à cause de la différence de leurs vitesses.

Du reste, notre but n'est pas d'étudier comment l'agitition augmente ou diminue avec le temps et la distance, mais de rechercher quels sont les effets produits dans l'intérieur d'une masse liquide |>ar l'agitation que l'on observe à la surface, au même moment et en des points voisins de celui où l'on fait l'observation.

6. Que l'on rapporte la masse liquide à des systèmes d'axes de coordonnées placés dans le plan de la section droite de l'onde :

f.es axes des abscisses (x) seront horizontaux, et positifs de gauche à droite, sens dans lequel on supposera que l'onde se déplace;

Les axes des ordonnées {y) seront verticaux, et positifs de bas en haut.

Pendant le mouvement de l'onde, chaque point de la masse liquide viendra successivement traverser la verticale R'S' {fig- 2) qui passe par le point le plus bas de l'onde.

Soit/? la profondeur du point quelconque que Ton considère, au-

Fig. 2.

dessous du point le plus bas R' de la surface du liquide.

Fixons dans cette position les axes des coordonnées du point ; et «oient par rapport à eux, au bout du temps /,

x^y les coordonnées du point;

£/, V les composantes de sa vitesse;

z la hauteur de la colonne liquide au-dessus de ce point, c'est-àdire la longueur de la verticale comprise entre le point et la surface du liquide.

Journ. de Math, (3^ série), tome VII. — Septimbhe 1881.

agS CORNAGLIA.

Soient encore :

Y l'ordonnée correspondante à/? = o, c'est-à-dire celle du point qui

se trouve à la surface du liquide ; l),V les composantes de sa vitesse.

Appelons encore, pour les deux branches montante et descendante de l'onde,

A la hauteur de l'onde visible, c'est-à-dire la différence de niveau entre son sommet et les points les plus bas des creux adjacents:

L la demi-amplitude de l'onde, c'est-à-dire la distance des verticales qui passent, l'une par son sommet et les autres par les points plus bas susdits ;

T le temps du passage d'une onde entière ;

W sa vitesse- de translation suivant la direction horizontale.

7. Du moment que, comme on l'a dit, le mouvement de translation de l'onde en direction horizontale peut être regardé comme uniforme sur un bref trajet, on aura

Après le temps /, l'onde qui, à l'origine du temps T, se trouvait en OM'R', se sera transportée en ^M,R, par rapport à la verticale R'S'fixe de position ; ou, ce qui revient au même, la verticale R'S' viendra en r's par rapport à l'onde OM'R'; son point G se trouvera en g^ au point de rencontre de la verticale r'^' avec Thorizontale G^; et la molécule de liquide qui était en G se trouvera en G', à la distance x de la verticale r's\ et à la distance y de l'horizontale Gg; x^y étant les coordonnées de la molécule G' par rapport aux axes ayant leur origine en g.

Maintenant, sur la verticale qui' passe par le sommet de Tonde, et en Gi à la même hauteur que le point G, c'est-à-dire à la profondeur p sous l'horizontale menée par R', plaçons l'origine d'un autre système d'axes coordonnés qui se déplacent avec l'onde, c'est-à-dire qui aient le même mouvement de translation en direction horizontale; l'axe des abscisses (X) sera horizontal et positif de gauche adroite; l'axe deë

ordonnées {y) sera vertical et positif de bas en haut: par rapport à ces axes les coordonnées du point G' seront

abscisse h ^ W t -h x = X; ordonnée j ou Y

si le point correspond à/> = o,

I^ suite, àun instant donné^ de tous les points ayant pour coordonnées courantes X, Y constitue la courbe de Tonde visible dans la position qu'elle occupe dans cet instant.

En général, l'ordonnée y = gg' du point G' correspond à l'abscisse

X = g G' qui, à son tour, correspond au temps / = ^n-- Par suite, si à l'extrémité de l'abscisse -

IIG' = HE' -E'g^' - ^'G' = L - W/ -f- ^ = X,

qui correspond au même temps / que l'abscisse a?, on porte l'ordonnée de la trajectoire du point

on aura le lieu géométrique des positions que le point viendra prendre successivement par rapport à Tonde pendant tout le temps T; ou encore la courbe sur laquelle, à un instant donné, se trouveront tous les |)oints situés dans les mêmes conditions de profondeur que le point que Ton considère; en d'autres termes, on aura la courbe qui représente la forme de Tonde dans l'intérieur de la masse liquide, ou plus simplement la courbe de Tonde interne,

jK = F(L~W/4-x) = F(X),

correspondante à une profondeur déterminée /?, et rapportée aux axes de coordonnées ayant leur origine en G,.

En y faisant ^ = o, ce qui entraîne y = Y, on aura la courbe de Tonde visible

Or, l'observation montre que, dans le mouvement des ondes, les

3oO CORNAGLIA.

déplacements des molécules dans la direction horizontale sont toujours très petits en comparaison de la demi-amplitude de Tonde et des espaces parcourus par celle-ci.

C'est pourquoi Ton peut négliger le terme x en comparaison des deux autres li et W/, prendre simplement X = L — W^ pour Tabscisse du point G', et écrire

Les fonctions qui représentent la trajectoire du point et la courbe de Tonde interne sur laquelle il se trouve ont des valeurs égales pour des valeurs déterminées de a? et de X coiTespondantes au même instant /; mais la première j=/( a?) est rapportée aux axes dontTorigine est en g^ mobile par rapport à Tonde considérée comme fixe ; tandis que l'autre j = F(X) est rapportée anx axes dont l'origine est en G, fixe par rapport à Tonde qui se déplace.

On aura par conséquent encore

8. Soient maintenant mn^ pq les courbes de deux ondes internes consécutives, correspondantes respectivement aux profondeurs p et p -h dp\ la hauteur z = mm' peut prendre deux accroissements divers selon que le temps varie, ou la profondeur.

Le premier accroissement ^ dX se compose de deux termes, relatifs, l'un cd = -yrrdX à Tonde interne, l'autre c'd' = -rrrrfX à Tonde visible; ils correspondent tous les deux à l'accroissement

me = m'c' = rfX = - Wrf/.

puisqu'on a laj'eiation X = L — W/.

Cet accroissement -jj^dX. se rapporte à deux points divers m, rf, qui

se succèdent immédiatement à la distance horizontale rfX sur la même onde, ou bien au même point m à l'intervalle de temps dl.

Le second accroissement mp =^ ~ dp se rapporte à deux points /w,

PROPAGATION VERTICALE DES ON DIS. 3o I

Pj qui se suivent immédiatement au même instant sur la même verticale à l'intervalle dz en rapport avec Taccroissement dp.

A l'accroissement ^ rf/7, qui représente à un instant donné, ou bien

à une abscisse donnée, l'intervalle en direction verticale de deux ondes internes consécutives, correspond l'accroissement mq qui représente, dans le même instant, l'intervalle des deux mêmes ondes en direction horizontale; ou encore représente la distance de deux points sur deux ondes internes consécutives, lesquels à un instant donné se trouvent à la même hauteur.

Appelons, pour abréger,

d'z l'accroissement mp := -^dp^ afin de le distinguer de l'autre ^ rfX

que l'on désignera simplement par dz ;

rf'X l'accroissement mq^ pour le distinguer de l'autre me = dX.

9. Venons à l'examen de l'action produite par le déplacement de Tonde visible, et considérons un point quelconque G' au-dessous de l'horizontale qui passe par le point le plus bas de l'onde.

Par l'effet de la gravité et de la réaction du fond, les molécules en H, G', E', sur la même horizontale, se trouveront d'abord respectivement soumises aux pressions hydrostatiques, qui ont pour mesure la hauteur des colonnes liquides OH, M'G' et E'R', si la densité du liquide est égale à l'unité, comme on le supposera, et comme cela arrive approximativement pour l'eau.

De plus, en vertu de l'égalité de pression en tous sens que possèdent les liquides, ces pressions s'exerceront aussi suivant l'horizontale HE', de sorte que dans cette direction la molécule en G' se trouvera en même temps soumise à la même pression M'G' dans les deux sens opposés G'H et G'E'.

Or, si Ton considère deux molécules consécutives quelconques sur la même horizontale, à cause de la continuité et de l'incompressibilité du liquide, la pression analogue M' G' à laquelle se trouve soumise chacune des deux molécules se transmettra à l'autre; les pressions d'une molécule vers l'autre étant opposées se détruiront réciproquement pour la partie commune à toutes les deux, et finalement l'une des molécules

3a2 CORNAGLIA.

poussera ou tirera l'autre avec son excès de pression et dans le sens de cet excès.

Ces excès de pression, par le même motif de la continuité et de l'incompressibilité du liquide, se transmettront d'une molécule à l'autre, de sorte qu'en dernier lieu la molécule en G' se trouvera soumise au maximum de l'excès de pression qui puisse se déterminer sur l'horizontale HE', et par conséquent se trouvera d'un côté soumise à l'excès de pression OH — G'M', et de l'antre à l'excès de pression M' G' — E'R'.

Toujours encore à cause de la propriété de l'égalité de pression dans tous les sens que les liquides possèdent, ces excès de pression s'exerceront tant en direction horizontale HE' qu'en direction verticale G'M'.

En tout donc, la molécule en G' se trouvera soumise dans le sens positif de l'axe des y à l'excès de pression