OH - G'M') H- (G'M' - E'R') = OH - E'R' = H- A
et, par analogie, la molécule en G" sera soumise à l'excès de pression — A ; ces excès de pression représentent la charge qui, en direction horizontale, tend à ramener les molécules à leur position de repos.
Si, au lieu des points comme G' et G" au-dessous de l'horizontale passant par R', on considère les points comme V qui se trouvent audessus, ces points se trouveront soumis à l'excès de pression
OK - IN' H- NT- (- TB) = OK -4- TB =- O* =: -h A,
et à l'excès de pression —A pour les points tels que F, comme pour les points G', G".
11. Ces charges cependant se modifient à cause du mouvement. Quand une onde passe, les molécules appartenant au même niveau,
c'est-à-dire à la même couche horizontale très mince dans le liquide en repos, viennent l'une après l'autre prendre la même position par rap-
io] COHNAGLIA
port à Tonde interne ou visible sur laquelle elles se disposent dans le mouvement, de sorte que cette onde se transporte parallèlement à elle-même en direction horizontale, tandis que les molécules, après le passage d'une onde entière, viennent se trouver à la même position qu'auparavant; c'est ainsi qu'a lieu le mouvement apparent du liquide.
L'onde avançant par un mouvement rectiligne horizontal, chaque point de su courbe effleure successivement toutes les molécules des couches très mi-nces contiguës; car, en s'élevant et s'abaissant, elles se portent continuellement contre cette courbe à son passage, pour se disposer à leur tour sur Tonde respective à laquelle elles appartiennent.
Par conséquent, chaque point de cette courbe dans son mouvement de translation exerce une action sur les molécules effleurées.
Si, après cela, on considère un temps très court, les . molécules effleurées se trouveront comprises dans un intervalle horizontal égal au trajet horizontal du point de la courbe, car dans cet intervalle elles parcourent toutes très approximativement le même espace horizontal.
Par suite, chacune de ces molécules éprouvera, pendant un instant, l'action du point de la courbe, et s'il s'agit d'un temps très court, elle éprouvera en moyenne, pendant tout ce temps, une action qui aura pour mesure l'action individuelle du point divisée par une quantité proportionnelle à son trajet horizontal dans le même temps, parce que cette action individuelle, qui reste constante pendant ce temps, se fait sentir également, et par conséquent se répartit uniformément sur toutes les molécules comprises d.»ns ce trajet, et cela quelle que soit la direction suivant laquelle s'exerce l'ai tion.
Nous disons quantité proportionnelle à son trajet horizontal, parce que, dans un intervalle donné, le nombre des molécules effleurées varie suivant Tinclinaison de la tangente à la courbe de Tonde.
Or une courbe n'est autre chose qu'une suite de points ; par conséquent, Taction qu'un arc élémentaire de Tonde exerce sur une molécule pendant tout le temps de son passage auprès d'elle sera égale à la somme de l'action moyenne de tous ses points, action moyenne qui se fait sentir sur toutes les molécules comprises dans un trajet égal à la projection horizontale de cet arc élémentaire, parce que dans cet espace de temps tous les points de cet arc élémentaire, et pas d'autres, passent auprès des molécules.
PnOPAGATlOPr VERTICALE DES ONDES. 3o5
D'autre part, plus l'inclinaison de la tangente à la courbe est grande, et plus Tare élémentaire de la courbe dans un intervalle donné devient grand; et le nombre de ses points augmente précisément comme pour les molécules en contact.
Par conséquent. Taction ressentie, dans une direction déterminée et à un instant quelconque, par une molécule pendant le passade de Tonde en contact, sera égale à Taction totale exercée dans cette direction par Tare élémentaire qui, dans cet instant, passe auprès de la molécule, divisée parla projection horizontale du même arc, ou plus généralement divisée par la projection de Tare élémentaire considéré sur la direction du mouvement de translation de la courbe qui exerce sa propre action sur les molécules effleurées.
Et comme ces arcs se suivent immédiatement sans interruption ni superposition. Taction de Tonde sur la molécule sera continue; en outre, elle aura toujours la même valeur, quelle que soit la longueur de Tare, pourvu qu'il soit très petit; parce que son action totale aussi bien que la projection sur laquelle se répartit cette action lui sont proportionnelles.
12. D'après ce qui précède, l'excès de pression verticale auquel, dans leur ensemble, se trouvent soumises les molécules disposées le long d'un arc élémentaire quelconque de l'onde interne ou visible, ayant pour projection horizontale </X,aura pour valeur (A — 2Y)rf\, et cette expression indiquera aussi l'action verticale de l'arc élémentaire sur les molécules en contact.
Ensuite, par l'effet du déplacement de l'onde, l'action verticale de l'arc élémentaire sur les molécules effleurées en un point quelconque aura pour valeur
c'est-à-dire sera égale à l'excès de pression verticale auquel sont soumises les molécules dans cette direction.
Horizontalement, chaque arc élémentaire d'onde de hauteur dy et de projection horizontale dX subira dans cette direction un excès de pression A dy, et pendant son déplacement, l'onde exercera sur les molécules en contact l'action A^, abstraction faite du signe.
Journ. de Uath. (3« série), tome VII. - Septehmi 1880. içf
3o6 CORNAGLIA.
I/actioii A".^ s'exerce évidemment dans le même sens que l'excès
de pression A, et par conséquent sera de même signe.
Or, les ondes internes doivent être comme Tonde visible, montantes et descendantes pendant les mêmes périodes; car, à cause de la prépondérance décisive de la composante verlicale des forces sur la composante horizontale, ainsi que le révèle dans la nature la grande différence d'intensité des mouvements dans ces deux directions, cette composante verticale détermine principalement la forme des ondes.
D'autre part, comme la charge verticale a une valeur constante poin' toutes les molécules situées au même instant sur la même verticale, l'allure générale des ondes doit être la même poiu' toutes, sauf la différence de leur grandeur qui se trouve en corrélation avec la plus ou moins grande réaction des molécules, selon les différents points de la masse liquide considérés.
Alors le -7^ > dans la période montante, sera négatif, et vice versa sera
positif dans la^ période descendante, c'est-à-dire se trouvera précisément de signe contraire à l'excès de pression A.
Par conséquent, l'action A^ et l'excès de pression A devant avoir
le même signe, on devra, dans tous les cas, adopter — ^'f\ pour expression de l'action horizontale des ondes sur les diverses molécules de la masse liquide.
La charge à laquelle se trouveront soumises toutes les molécules de la masse liquide en dépendance de la forme des ondes se trouvera donc modifiée de la manière suivante :
i3ans la direction verticale A — 2 Y;
Dans la direction horizontale — A^v •
15. Après avoir ahisi tenu compte des causes inhérentes à la forme des ondes, pour le reste, chaque effet, comme on la déjà dit, étant [)roportionné à la cause qui le produit, et vice versa, on pourra wegarder la force qui anime chaque molécule de la masse liquide par l'effet du déplacement de Tonde visible, comme proportionnelle aux susdites
charges modifiées, c'est-à-dire l'égaler à
a(A— 2 Y) dans la direction verticale;
— aA-^ dans la direction horizontale.
aX
La quantité a doit être la même pour les deux charges, car autrement le j>rincipe de TégaHlc de pression dans tous les sens, dont elles sont déduites, ne se trouverait plus vérifié.
Cette quantité se déterminera d'après la condition que Tonde visible déduite des calculs ait la hauteur A observée, et qu'elle coïncide, dans chacun de ses points, avec la courbe de Tonde relevée, ou adoptée dans les tentatives de calcul.
14. Il est à remarquer qu'en se transmettant de la face verticale r/'c à la face horizontale rf'X d'un élément de liquide d'z x rf'X, les pressions exercées en direction verticale par les colonnes liquides OH et E'R' agissent toutes les deux dans un sens sur Tune des faces d'X, et dans le sens opposé sur l'autre, tandis que la colonne M' G', au contraire, agit dans le même sens sur toutes les deux.
Par contre, en direction horizontale, les colonnes OU et E'R' agissent Tune dans un sens et l'autre dans le sens opposé sur les deux faces d'z, et la colonne M'G', en transmettant la pression qui lui est due, agit dans un sens sur Tune des faces d'z et dans le sens contraire sur Taulre.
Par conséquent, les colonnes liquides Oil et E'R' tendent à comprimer Télément en direction horizontale et à le dilater en direction verticale, et vice versa la colonne M'G', combinée avec la réaction du liquide qui se trouve au-dessous, tend à le comprimer en direction verticale et à le dilaXer en direction horizontale.
Par ces compressions et expansions, les tranches liquides verticales, dans lesquelles on peut imaginer divisée la masse liquide en repos, s'allongent et se raccourcissent verticalement pendant le passage de Tonde, et en correspondance s'amincissent et se gonflent horizontalement, et par suite se plient Tune sur l'autre, engendrant ainsi les divers mouvements des molécules.
15. Passant à la réaction des molécules, on a d'abord à observer
3o8 COKNAGLIA.
que, s'il n'intervient pas d'autres causes^ tous les points de la niasse liquide situés sur la même verticale devraient avoir, dans cette direction, la même vitesse, comme étant soumis à la même charge.
Au contraire, comme les faits le démontrent, l'agitation, qui n'est autre chose que du mouvement, diminue avec la profondeur, ce qui fait que ces points doivent avoir entre eux une vitesse verticale différente.
Quoi qu'il en soit, soit i^ la vitesse verticale à la profondeur z après le temps /, la vitesse dans la même direction et sur la même verticale, c'est-à-dire dans le même instant, à la profondeur z -h d'z, sera
^-^ ZJT- cVz ; a z
la différence de ces vitesses, savoir la vitesse gagnée par le point inférieur par rapport au point supérieur, sera
— clz
ou encore la colonne z aura, par rapport au point qui est au-dessous, la vitesse relative — ^d'z,
et JZ
Avec cette vitesse relative, la colonne frappe le liquide qui est audessous d'elle ou bien l'aspire, et ainsi se produit cette mutuelle impulsion ou empêchement de mouvement qu'exercent les molécules, et qui forment leur réaction.
Pour la déterminer, il faut remarquer que, suivant la direction verticale, la colonne z, qui s'appuie sur la base rf'X et a comme elle la
vitesse t^, possède la quantité de mouvement ^^ — — {>,
De même, la colonne z -h d^z possède la quantité de mouvement
-^{z -h d z) Iç-h-^d z j, ou sunplement f (^-+- -jr^d zu parce
que l'on peut négliger d'z en comparaison de z.
Par conséquent, dans l'intervalle de sa hauteur d'z, l'élément de
masse — -^^—^ se trouve avoir gagné dans l'unité de temps une quantité
de mouvement égale à la différence des quantités de mouvement
comuiuniquées respectivement à ses bases inférieure et supérieure, c'est-à-dire égale à
3d'X/^ ^ dv ,, \ zd'X zd'X dv j,
g \ d'z I g g dz
expression qui, rapportée à l'unité de masse de Teleraent, donne zd'X ^*' ^' g ^^^'
et représente la valeur de la force à laquelle se trouve soumis Télémenl par cette cause. Mais le coefficient différentiel d'une fonction ne change pas par le changement de grandeur de l'accroissement que l'on donne à la variable, pourvu que cet accroissement reste très petit. Et comme la distance dz de deux ondes internes consécutives, qui à l'origine des temps se réduit à dp^ peut se représenter par k dp^ k étant
fonction du temps seulement, on pourra substituer -i- à ^» et de cette
façon la réaction des molécules en direction verticale deviendra
dv ^-dp
16. La réaction des molécules en direction verticale a pour mesure la profondeur du point considéré dans l'endroit où il se trouve, multipliée par le coefficient différentiel de sa vitesse verticale par rapport à la profondeur.
Or, si l'on s'en tient à l'observation, la vitesse en direction verticale diminue à mesure que z augmente; par conséquent, à mesure que :; augmente, la réaction des molécules croît d'un côté et diminue de l'autre.
D'autre part, la vitesse diminue avec la force actuelle, c'est-à-dire à mesure que diminue la résultante de toutes les forces, et comme la charge reste constante pour tous les points situés sur la même verticale, il advient en définitive que la réaction des molécules en direction verticale est opposée au mouvement et croit avec la profondeur, et le mouvement diminue en correspondance jusqu'à s'éteindre complètement.
3lO CORNAGLIA.
17. Par analogie, pour la reaction des molécules en direction horizontale, si le même point situé à l'abscisse L — - X a dans cette direction la Vitesse w, le point situé au même instant sur la même horizontale à
Tabscisse L-— X-hrf'X aura dans cette direction la vitesses -^ ttt^^'
et la vitesse relative du second point, par rapport au premier, sera
du r^
D'autre part, comme on Ta vu, de toutes les colonnes liquides qui agissent sur l'élément en direction horizontale, la colonne M'G' est la seule qui agisse dans un sens sur l'une des faces d'z, et dans le sens opposé sur l'autre.
La colonne lvrG'= z est donc celle sans laquelle il n'y aurait pas de vitesse relative entre les deux points; par conséquent, la même colonne z qui règle la vitesse relative des faces rf'X de l'élément règle aussi la vitesse relative des autres faces d'z^ en exerçant sur toutes la même pression z par unité superficielle.
Et comme la pression de la colonne z sur la face d'z est z d'z, la réaction des molécules en direction horizontale rapportée à l'unité de masse aura une expression analogue à celle de la réaction en direction verticale,
du j,^ ,, I du du
IJL
18. Les- équations du mouvement seront donc, dans la direction verticale,
di' / 4 ^.r^ , d\'
dt ^ dff
et dans la direction horizontale,
du . dy du
PUOPAGATION VERTICALE DES ONDES. '3 i r
Dans ces expressions, il nVst fait aucune distinction sur Tanij^Iitude des branches montante et descendante de l'onde, parce que, les équations du mouvement ayant pour toutes les deux la même forme, il n'y a pas de raison pour qu'une branche doive être différente de l'autre.
