L-X + X -f- ^('--^" + -^-^ d\ = L- X + X - d^ + ^. dX
dans le liquide en mouvement.
Par conséquent, la distance horizontale des deux points, qui dans le liquide en repos était
(L -- X - rfX) - (L - X) = - rfX,
sera, dans le liquide en mouvement,
(l - X -hx - rfX -h ^ ^) ~- (L- X 4-ar) = -rfX 4- ^ rfX ;
c'est à-dire que, dans le passage du repos au mouvement, la distance
'il 9. CORNAGLIA
dx r/X des deux points se trouvera augmentée de la quantité 4- -rr- rfX,
ce qui du reste est évident.
Avec les éléments de largeur — rfX (abstraction faite du signe) pendant le repos, et — rfX -H ^ rfX dans le mouvement, le liquide restera sans intervalles ni superpositions dans la direction horizontale : par conséquent, pour examiner la condition de continuité, on adoptera
— é/X + ^ ^X pour largeur des éléments dans le liquide en mouvement.
Le liquide restera de même sans intervalles ni superpositions dans la direction verticale pendant le mouvement, si l'on a égard aux éléments compris entre deux ondes consécutives, correspondantes respectivement aux profondeurs j9 et /> -t- dp.
Alors la hauteur d'un élément quelconque sera le d'z correspondant à l'abscisse L— X-h^, hauteur à laquelle, d'après ce qu'on a vu, on peut substituer celle qui correspond à l'abscisse L — - X, savoir simplement d'z.
Si donc on appelle E le volume d'un élément quelconque mis en mouvement, l'on aura
Mais afin que la condition de continuité et d'incompressibilité soit satisfaite, il faut que ce volume soit constant à chaque temps; il faudra donc en égaler à zéro la différentielle par rapport au temps, ce qui donne
et, en ôtant les facteurs communs,
d^x dz / dx\ d}z
^X« "^ ~ V "" dx) dfd\ "" ^'
équation qui exprime la condition voulue.
PROPAGATION VERTICALE DES ONDES. 3l3
20. D'après ce qui a été dit jusqu ici, les équations du mouvement des divers points de la masse liquide seront
3u . dv du
dv , . ^j^ dv
d'z dpdX
d^œ dz / dx\ ^ ^
auxquelles équations il faut ajouter les deux équations générales suivantes :
dy = s>di.
Pour chaque point on a donc sept équations entre huit variables, a?, jf^ Zj u, v^ /, X, Y et la quantité/?; en en éliminant six, on arrivera à une relation entre les deux autres variables, la profondeur p et les données de l'onde, savoir sa hauteur, son amplitude et sa vitesse.
Le mouvement sera donc parfaitement déterminé en fonction de ces données et de la profondeur du point que Ton veut considérer, pourvu qu'on donne la profondeur du fond, comme on le verra plus loin.
21 . Mais, comme il est facile de le voir, la réduction des sept équations à une seule, quand même cela serait possible, serait si difficile et conduirait à des résultats si compliqués, qu'il faudrait renoncer à toute idée de poursuivre l'opération par ce moyen.
Pour arriver à la solution du problème, ce sera donc le cas de la chercher approximativement par la méthode dite de fausse position ^ en commençant par attribuer à quelques-unes des variables des expressions telles qu'elles concordent assez bien avec la réalité des choses.
^ Dans ce sens, considérant que le mouvement des molécules est ose illatoire, et que le moyen le plus convenable de le représenter est d'employer une fonction de sinus et de cosinus, avec la combinaison desquels
Journ. de Math. (3" série), lorae Vil. — Septembre r88i. 4^
3l4 CORNAGLIA.
on arrive à exprimer toute sorte d'oscillation, on peut d'abord supposer que la courbe de Tonde visible soit une sinusoïde, comme du reste Ta considéré Laplace quand il a donné les lois de propagation horizontale d'une onde mince suivant la théorie du mouvement orbitaire.
L'équation de la sinusoïde est la fonction la plus simple dont le
rfW
-^ se réduise à zéro aussi bien pour X = o que pour X = L, comme en
effet cela arrive dans la nature, où la vitesse verticale est nulle au sommet et au point le plus bas de l'onde; par conséquent, quelle que soit la vraie courbe de l'onde, la sinusoïde s'en approchera au moins dans le voisinage de ces deux points.
D'ailleurs, si l'on observe les ondes quand a cessé l'action des forces qui les ont produites, et quand elles ne se trouvent pas modifiées, sensiblement au moins, par la réaction du fond ou des rives, ou par le croisement d'autres ondes provenant d'une direction différente; en d autres termes, si les ondes ne sont en aucune façon dérangées, précisément comme on le suppose dans la question dont il s'agit, dans ces conditions, on voit que leur forme concorde assez bien avec celle de la sinusoïde.
L'équation de la courbe de l'onde visible serait donc
Y=^(,+cos7r^).
Après cela, si Ton examine les expressions de-^et^> qui représentent la valeur de la force actuelle qui sollicite un point quelconque dans les deux directions horizontale et verticale, on voit qu'elles ont la même forme pour tous les points.
En outre, l'observation montre que l'agitation décroît à mesure que la profondeur augmente ; de sorte que les forces actuelles qui les produisent diminuent aussi quand z croit, jusqu'à devenir nulles à la limite de lagitation.
Enfin, la charge à laquelle sont soumises les molécules dans la direction horizontale change pour toutes de signe sur les verticales qui passent par le sommet et par les points le plus bas de l'onde.
Tout cela revient à dire que les ondes internes conservent une cer-
PROPAGATION VERTICALE DES ONDES. 3l5
taine ressemblance avec Tonde externe et qu'elles se trouvent toutes comprises entre celle-ci et une ligne droite horizontale qui représente l'onde interne à la profondeur où l'agitation du liquide ne se fait plus sentir.
Par conséquent, si l'on appelle a la hauteur de l'onde interne correspondante à la profondeur/), on peut admettre que l'expression de/ soit de la même forme que celle de Y, dans laquelle on substitue seulement a à A, c'est-à-dire soit
^^(^,4.cos7r^).
Avec ces valeurs de Y et de^, celle de z sera
[i^cos^^.
expression qui, en ce qui concerne les erreurs commises sur Y et v, n en contient que la différence.
22. Si de ces expressions on tire les valeurs des divers facteurs qui entrent dans les équations du mouvement, on a
A — 2Y = — A COSTT |-)
dv a ir . X
aX 2 L L
-dy
dt
aX 2 L L
dv ,,,. da Tz , X -7- = W —7- î- smTT 1- ; dp 2dp L L'
et les équations du mouvement deviendront
du . a Tt • X A— a
dt 2 L L 2
VA— rt
\\ dti
-;- = — - a A COSTT 7- -h W
dt L 2
-h 1 -f- COSTT
X\ da n , X
3l6 CORNAGLIA
expressions dans lesquelles rf/= — :^; on en déduit a et t^, pour
des profondeurs déterminées, exprimés au moyen de la seule variable X.
23. En ce qui dépend des lignes trigonométriques, si Ton divise l'amplitude de Tonde en quatre intervalles égaux à partir de X = L jusqu'à
X = — L, le facteur sinrr y sera positif dans le premier et le deuxième
intervalle, et négatif dans le troisième et le quatrième : costc j- sera au
contraire positif dans le deuxième et le troisième, et négatif dans le premier et le quatrième.
En conséquence, en ce qui regarde le déplacement de Tonde visible, action qui, en déterminant le mouvement, prédomine sur la réaction des molécules, qui ne fait que la modifier, en direction horizontale, cette action sera positive dans le premier et le deuxième intervalle, et négative dans le troisième et le quatrième. Dans la direction verticale, au contraire, cette action sera positive dans le premier et le quatrième intervalle, et négative dans le deuxième et le troisième.
En d'autres termes, -^j savoir la force actuelle qui produit le mouvement en direction horizontale, de positif devient négatif en passant de la période montante de Tonde à la période descendante, dans laquelle période X est négative; en outre, sa valeur est nulle, c'est-à-dire, la vitesse dans la direction horizontale est un maximum ou un minimum sur les verticales qui passent par X = L et X = o, c'est-à-dire par les points les plus bas et par le sommet de Tonde.
Et comme, dans les points voisins de X = L, l'abscisse X diminue
quand le temps croît, et siuTr -|- de négatif devient positif, par cette raison, u aura une valeur minimum, et vice versa elle aura une valeur maximum dans le voisinage de X = o, parce que, X diminuant, sinrr jde positif devient négatif.
Le^> au contraire, de positif devient négatif, en passant du premier au deuxième intervalle, et vice versa, de négatif devient positif, en passant du troisième au* quatrième; dans ces passages, il devient
PROPAGATION VERTICALE DES ONDES. 3l7
nul, ce qui revient à dire que la vitesse en direction verticale est un maximum ou un minimum sur les verticales qui passent par le milieu
des demi-amplitudes de l'onde, et sera un maximum pour X = -, et
un minimum pour X =
En outre, dans le trajet d'une onde entière, les accroissements du et dv passent symétriquement par des valeurs égales et de signes contraires .
Tout cela explique que le mouvement des molécules est orbi taire, et qu'à un maximum ou minimum de vitesse dans une direction correspond une vitesse nulle dans l'autre.
Quant à la réaction des molécules, il faut remarquer d'abord que,
à cause de rfX = -- Wrf/, ^^^ ^ ^ = "~ xsTdi'^ ^^ ^^ terme qui le contient comme facteur dans l'expression de -^ deviendra de signe contraire à -1-) c'est-à-dire qu'il deviendra négatif dans le premier et le
deuxième intervalle, et restera positif dans le troisième et le quatrième. En second lieu, la hauteur a de l'onde interne, d'après ce que l'on a
vu, diminue à mesure que/? augmente, de sorte que -7- sera toujours
négatif, et le terme qui le contient comme facteur dans l'expression
de -^> à cause aussi de l'autre facteur siuTr y-, deviendra négatif dans
le premier et le deuxième intervalle, et restera positif dans le troisième et le quatrième.
En d'autres termes, aussi bien dans la direction horizontale que dans la verticale, la réaction des molécules sera toujours négative pendant la période montante de l'onde, et positive, au contraire, dans la période descendante, comme du reste on pouvait le prévoir en observant le mode suivant lequel se comportent les tranches verticales et horizontales du liquide; c'est-à-dire, comment elles s'allongent ou se raccourcissent, et quel est l'effet produit par leur allongement et leur raccourcissement.
24. Du moment que ces équations subsistent pour une valeur quelconque de z, elles subsisteront encore pour les molécules à la sur-
3' 8 COnHAGHA.
face du liquide, pour lesquelles z = o; et dans ce cas elles deviendront
dV a A* it . X
rfV a . X
35^ = ^Acos7r^.
En les intégrant et en observant que on aura, pour la première.
lans cette équation, pour
dans celle-ci,
X = -, U = o, const. = o, ^ a A» X
•^ = ■— -rrr — — SIUTT -=- "+- COnst.;
W 2 it L
X = L, • a? = o, const. = o.
Pour la seconde équation on aura
ou pour
et puisque pour
V = :^ A — sin^r j- -f- const.;
X = L, V = o, const. = o.
dY ^ .h ' X
dX "" W»^ «^^^"^L^
J^ = Y^ A ^ COST! y; -t- const..
X = L, Y = o, const. = -h 4t A ~;
et alors
Mais pour par suite
PROPAGATIOPT VERTICALE DES ONDES. 'iig
Y=^A^(i-4-cos7r^).
et I*on aura définitivement
U — W -, 7-5 cost: t-)
V = W - T-siuTT T>
comme l*équation dont on était parti.
W* it* 25. La valeur de la quantité oc= — p ®st caractéristique; on peut
la considérer comme la moitié de la force vive de l'unité de masse avec la vitesse W de propagation des ondes, divisée par le carré du rayon du cercle qui a pour circonférence Tamplitude 2L de l'onde, le long de laquelle les molécules accomplissent leur révolution.
Il était, du reste, bien naturel que la valeur de a dût être formée par ces éléments, car, en évaluant les charges et leurs modifications, on avait déjà bien tenu compte des dimensions en hauteur de Tonde v^«iible et de la forme des ondes en général, mais il manquait encore d'introduire dans le calcul leur amplitude et leur vitesse, choses qui doivent exercer une influence bien décisive sur l'intensité due au déplacement de l'onde visible.
En outre, le produit de la quantité a ainsi obtenue, par chacune des deux charges trouvées plus haut, constitue une vraie force, puisqu'il en résulte la moitié d'une force vive divisée par un espace linéaire, et multipliée par le rapport de deux lignes, dont le numérateur est la charge. La proportionnalité de a aux forces qui représentent l'action produite par le déplacement de l'onde visible est donc admissible.
320 cohnaglia.
26. Si Ton passe maintenant aux molécules dans l'intérieur de la masse liquide, l'équation 'de leur mouvement dans la direction verticale deviendra, d'après la valeur trouvée de a,
dv ^-Air* X A — af o.p X\ da tz . X
-jTT = W- i-icosnî -T—^^ *- * ^-cos7rT- )--7- T-sm7r f
d\ a L' L 2 \A — a Lj2dpL L
£n intégrant, on aura
-^ A TT . X da X
ç =yf - T-smTTî- H :7-pcos7rr
A — a da X A — a da i oX ^ ^j-cosTir H -u — cos'TTf- H- const.
2 2 dp L 2 2 dp 2 L
Pour X = Ij, t' = o ; par suite
€/a A — a da A — a da i const. = H — :t- p h ^ ^ — >
2dp* 2 2a/? 2 2a/? 2
et, à cause des relations
dr ^.j. dy
et
Y Y ' — COS27r^
I — COS'TT f- = sm^TT ï- =: >
on aura
^r Aiz . X da p / X\
ia / . X\ . I A — a é/a / X\
(^, ^^COSTTj-j 4- ^ -^ ^(^. - COS2nj-j.
A — a rfa
En intégrant.
A X da / ^ A — a\^ da ( A — a\L. X
^= cosnj- - ^^^(;,-f- ^X- ^^^(;,+ ^-)-s.n;rj-
, i k — a da f^ L . X\
Pour X = !.. .j = o; par suite.
3ai
A (la
const. = H h
et par conséquent, en réduisant,
A. / \\ da ( 3 A — ^\ /T \r \
V = - ( . .+- cos;: j- j + -^^ (^;, + -^ — - j(I. - X)
A-^ da L . X
j SUl 271 r ■
2 idp IT. 1.
Mais, pour X ~ o, ou doit avoir ^ = a; par conséquent, r/(A — ^) 2W dp
d'où
équation difFérentielle homogène; pour l'intégrer, il suffira de faire
(A — a) = 'fip, d'où
rf(A — a) =^ pdri -\- Yjdp.
En substituant ces valeurs et en réduisant, on aura successivement
dp
fi
di,
U/vj
