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Journ. tie Math. (3* série), tome VII. — Skpteiibre i88i.
3/9 CORN\GLIA.
En intégrant, on aura
— j- log^ = logï; j-- log(^-j- ' - 8 V '^' ^^"^*'
passant aux nombres, substituant à yj sa valeur et réduisant, on oblient
(A - a)const. =/,T^ (:^ - . - ^ ^) ' •
Pour la détermination de la constante, il faut remarquer que, tant qu'il y a mouvement, il y a aussi réaction des molécules, et vice versa.
Or, si grande que soit la profondeur, la vitesse pourra bien devenir très faible, mais elle ne pourra jamais s'éteindre complètement, parce (jue le coefficient différentiel de la vitesse verticale par rapport à la profondeur, qui constitue l'autre facteur de la réaction des molécules,
ne peut jamais se réduire à zéro, attendu que -j- = o est le symbole
distinctif d'un maximum ou d'un minimum de vitesse, dont il n'est pas question ici, et non pas d'une vitesse nulle.
Du reste, quelle que soit la profondeur du liquide, chacune de ses molécules est soumise à l'excès de pression ± k en direction horizontale, et A — 2 Y en direction verticale; l'effet de ces forces est bien paralysé plus ou moins par la réaction des molécules en mouvement, mais il ne peut pas rester entièrement détruit, parce qu'il n'y a pas de réaction là où il n'y a pas mouvement.
Donc le mouvement ne cessera qu'à des profondeurs infinies, pourvu que s'y prête l'extension des colonnesliquides.
En réalité ce|)endanl, le mouvement s'arrête au fond sur lequel repose le liquide, car là, à cause du manque d'élasticité, à chaque instant la composante des forces normale à la surface du fond sera détruite; les molécules qui y sont en contact ne s'en détacheront pas, et la hauteur de l'onde interne y sera nulle.
Par conséquent, si P représente la profondeur du fond au-dessous du liquide, la constante devra être telle, que pour /? = P on ait a = o, et l'on aura par conséquent
iJ! /^W 3 A\
Aconst.=P'^(^-j-- -. - gpj
d'où
Pour /? = o, le rapport prend la valeur -> qui se réduit à
-j— > en le tirant de l'expression de
j savoir du rapport des
différenrielles du numérateur et du dénominateur.
Par consequent, la quantité « — - — varie entre ^ 7; et
Quant à la valeur de p» l'observation montre que Tonde se brise
quand elle arrive sur des profondeurs à peu près égales à sa propre hauteur; ceci revient à dire que, par défaut de profondeur, elle doit avoir ressenti déjà des perturbations avant d'arriver à ce point; en d'autres termes, pour se développer dans des conditions normales, comme on le suppose dans la présente question, l'onde a besoin de profondeurs suffisantes, plus grandes que A.
A A cause de cela, p sera une fraction d'autant plus petite que P sera
plus grand, et ses limites extrêmes seront o et i .
2W La valeur de -r- ensuite, comme on le verra plus loin, reste comprise entre les limites > et , environ.
A l'aide de toutes ces valeurs limites, on arrive à reconnaître que le fac- 2W 3 A — a \
y^r o A — J ^^^ P^'^^ ^^ l'unité, toutes les fois qu'il s'agit
T '"" 8P / de points situés à une certaine distance de la surface du liquide, |)our
lesquels est proche de son minimum.
Ce même facteur est encore voisin de l'unité, oscillant entre o, 85i
et 1 , 260, quand -y- est près de son minimum, quand même —
rait, au contraire, voisin de son maximum.
teur
se-
324 CORNAGLIA.
Enfin, ce n'est que dans les cas d'ondes très rapides et de peu d'amplitude, et de points situés à de très petites profondeurs, que ce rapport acquiert une certaine grandeur, de i, Go à 4^00 tout au plus, selon
que p a une valeur maxima ou mmima.
Si Ton considère cependant que ce facteur a un exposant fractionnaire, de sorte que sa valeur se rapproche encore davantage de l'unité, et, d'autre part, que, quand il s'agit de points à une profondeur très petite, pour lesquels ce facteur s'écarte davantage de l'unité, l'autre
facteur (p) sera fnible, leur produit sera faible aussi, et il n'y
aura
pas alors une grande différence à prendre pour . ,
, T ' "" 8 P une valeur approchée.
Par toutes ces raisons, en pratique, on pourra le considérer comme égal à I , et poser
Cette expression simple de a se déduit immédiatement de l'équation différentielle originaire, dans laquelle on néglige la quantité -(A —a), qui, dans la plus grande partie des cas, est très petite en comparaison de p.
27. Des données obtenues sur les ondes mesurées, on déduit que le rapport -j- varie de ^ a 7 environ, et généralement reste compris entre « et -j c'est-à-dire que les décroissements de a varient, suivant les cas, comme les racines cubiques ou carrées du rapport^-
Cela montre comment, même dans le cas des plus grandes valeurs
2W de -j--> la valeur de a décroît tout d'abord rapidement de manière à
se réduire considérablement à peu de distance de la surface du liquide; puis, cette même valeur décroit de moins en moins rapidement, pour
PROPAGATION VERTICALE DES ONDES. 3a 5
se maintenir à peu près constante jusqu'à de très grandes profondeurs, s'il en existe.
28. Ayant ainsi obtenu les valeurs de a et de ^ en fonction de /?,
on peut les substituer dans les expressions de v et y pour en tirer les valeurs correspondantes à des valeurs déterminées de X.
On peut aussi les substituer dans les équations du mouvenient en direction horizontale, pour en tirer les valeurs de u et de a? après avoir exécuté les intégrations nécessaires.
Mais le calcul deviendra plus simple et plus exact en même temps, si, k Taction du déplacement de l'onde visible et à la réaction des molécules, on substitue la force actuelle capable par elle seule de produire le même mouvement, c'est-à-dire substituer la force
a a' ir . X T»r «* '^^ • "^
"• xTr— r SIUTT^ z= — W y j-z SIUTT r W 2 L L 4 i^ t^
en direction horizontale, et
-acos7:j-=W-j-^cosnj-
en direction verticale, pareillement à ce qui arrive pour l'onde visible, pour laquelle la réaction des molécules est nulle.
Alors il suffira de substituer a à A dans les expressions trouvées plus haut pour les molécules à la surface du liquide, et ainsi l'on aura
u =2W y- j-z COSTT j- y X r- -. sm TT p )
__, rt 1T . X
r=: W - 7-sm;rT-> 2 L L
Ces valeurs démontrent que le mouvement en direction horizontde est proportionnel au carré de la hauteur de Fonde sur laquelle se trouve
!i26 CORNAGLIA.
la molécule considérée : en direction verticale il est simplement proportionnel à la première puissance de cette même hauleur.
Les vitesses suivront donc, dans un certain rapport, la loi de variation de a.
29. On pourrait aussi obtenir la valeur de x en intégrant l'équation qui exprime la continuité et Tincompressibilité du liquide.
Mais, à part les difficultés que Ton pourrait rencontrer dans Topération, il faut remarquer que, du moment qu'il faut renoncer à une des équations originaires à cause de la nouvelle relation introduite en se donnant les expressions de Y et y, il est préférable de s'en tenir aux équations du mouvement pour calculer la valeur de ar, parce qu'elles la donnent en rapport avec la force horizontale, ce qu'il importe précisément d'obtenir.
Dès lors, l'équation de continuité ne se trouvera plus parfaitement satisfaite, et la différentielle du volume de l'élément par rapport au temps, d'où Ton a obtenu cette équation, fera connaître l'erreur provenant des valeurs de j^ et de x obtenues comme il a été dit plus haut, savoir l'excès ou le défaut de volume que l'élément présente en comparaison du volume qu'il devrait avoir dans chaque point.
\a^ coefficient différentiel
\d^x dz ( dx\ d^z 1 ,„ ,
se trouve exprimé au moyen du volume absolu dXdp,
Clomme il importe que ce coefficient soit exprimé par rapport au volume (avec son propre signe) que l'élément a dans la position même où il se trouve, il suffira de multiplier et de diviser en même temps d\dp par (— rfX -4- dx) d'z.
On obtient
,, j — d\ -\- dx ffz d\ dp , ,-^ 1 \ Il
- - ,/^ ■ -ï^ (- rfX + dx)dz
d\ — dx dz . ^ '
= -^Ji{-d^-i-dr)d'z, et-**
en observant que le rapport ,^ , est très approximativement égal à Tunité.
Par conséquent, on aura
ΠVd^jc [ dx\ d^z dpi, ,.. j x j,
iX^-'[dx^-V-dx)d^dx7è\^^'^^
Le coefGcient
>dX dz
dE dX
d^x / dx\ d^z dp
'"dX^'^ y~ dXjd^
indique le degré de grandeur de l'erreur, et offre le moyen de calculer de combien un coté de Télément se trouve plus allongé ou plus raccourci qu'il ne devrait l'être au point où il se trouve, quand on donne l'allongement ou le raccourcissement de l'autre côté.
En y substituant leurs valeurs à chacune des quantités, c'est-àdire
dp da
dz~ dp X
1~ — I — COS7r-=r-
da L
d^z Tz da . X dpdX h idp L
dx a^ TT* X dX= 4 L'^^^^L'
et
d^x a* Tt» . X
on obtient
et puisque
o* it» X . a»«' . X :: '^-^W^'^-^h . X = j ïj.sinTiL - Z-Tp x''""î'
