TT* TT L L L
-.-V,- P^ p ^-1-14- COST! 7-
Pour X = L et X = o, on a (? = o; la condition de continuité est donc toujours parfaitement satisfaite sur les verticales qui passent par les points les plus bas et par le sommet de Tonde
Pour X = - > d' prend la valeur maxima
LP »' fj ^ + AA\^
A mesure que p augmente, cette valeur diminue» et d'autant moins rapidement que^ est plus grand; par conséquent, à son tour, elle a un maximum qui correspond à/? = o, et dont la valeur est
c'est la limite extrême de Terreur.
Pour/) — P, la valeur de &' devrait être nulle, parce que là la hauteur de Tonde interne est égale à zéro ; au contraire, elle devient
y ^ AW ^^ L LFh-AVV "
Cette différence, qui provii^nt de ce qu'on a posé -pr—^'j ~ ' » ^^^^ ^^"*
que la véritable erreur sera encore plus faible que celle que Ton a trouvée.
Eu égard à la petitesse de A , de W et de n par rapport à L, on voit que la valeur de 5' sera très petite, pour peu que Tonde atteigne une certaine amplitude 2L; elle sera, en outre, d'autant plus petite, que Tonde se développera sur des profondeurs dune certaine grandeur.
Dans le cas particulier qui sera traité dans la suite, on a
Pour /? — . o o'^ — 0,0878,
Pour/?izr i»n S' -o,oo35,
c'est-à-dire déjà moins de -^ de $\ ,
Pour/?=rP 8', =10,000014.
Considérant en outre que Terreur varie entre zéro et le maximum relatif J', et d'un autre côté que Terreur calculée est plus grande ([ue Terreur réelle, on doit conclure que, avec les valeurs de a? et dey qu^on a prises, la condition de continuité est suffisamment bien satisfaite pour les ondes d'une certaine amplitude, qui sont précisément celles qui intéressent davantage Tingénieur.
Et, quand même, pour les petites ondes, le coefficient c^ serait plus élevé, les mouvements des molécules sont alors si faibles, surtout en direction horizontale, qu'au point de vue absolu, dans les cas ordinaires de la pratique, on pourra encore conserver les mêmes valeurs de j et de ;r, qui, à cause de cela, peuvent être adoptées dans tous les cas.
La faiblesse des erreurs trouvées en adoptant pour Tonde une forme approximative confirme la justesse du procédé qu'on a suivi.
50. On doit remarquer la particularité que Terreur de volume des
éléments représentés par ^^ est toujours positive, aussi bien dans la
période montante que, dans la descendante, comme on peut facilement le reconnaître, en observant que, pour X négatif, les deux fac-
teurs siuTT r ^^ ^ ^^ coefficient — J et de (— dX H- dx), largeur de Télément, changent tous les deux de signe.
Gela indique qu'avec la valeur adoptée de y et avec celle de x que Ton en a déduite, chaque élément de volume absolu [dlL— dx)d'z possède à chaque instant un excès de volume qui ne devrait pas se présenter si la condition de continuité était parfaitement satisfaite.
En d'autres termes, afin que cette condition fût toujours complètement satisfaite, il faudrait en chaque point raccourcir Tun ou l'autre côté de Télément, ou tous les deux ensemble, en corrélation avec l'excès de volume qu'il présente à ce même point; ce volume se réduit à zéro, au sommet et aux points les plus bas de Tonde» et acquiert une valeur maxima au milieu de la demi-amplitude de Tonde.
Ceci posé, il est à remarquer que, si Ton réduisait même d'une ma-
Journ. de Math, (3* série), tome VII. — Octorre 1881. «|2
33o CORNAOLIA.
nière sensible, d'après la même loi, les ordonnées seules des ondes, les valeurs de x que Ton obtiendrait avec les nouvelles courbes ne différeraient pas sensiblement de celles qu'on a déjà trouvées, attendu que le
seul facteur variable, -^j qui entre dans Texpression de l'action du
déplacement de Tonde visible en direction horizontale, et qui avec la sinusoïde a pour valeur
ai:. X 2 L L
A changerait très peu, à cause de la petitesse du rapport limite j •
A Suivant les observations faites, le rapport j- descend bien souvent
au-dessous de o,o4; généralement il est compris entre 0,06 et 0,1 3, et très rarement il dépasse cette dernière limite.
Par conséquent, en portant les réductions sur les ordonnées, les vraies courbes des ondes devraient être plus déprimées vers le milieu des deux branches que ne le sont les sinusoïdes.
Cela est parfaitement d'accord avec ce que Ton observe dans la nature, où les courbes des ondes visibles apparaissent un peu plus minces et plus aiguës à leur sommet et plus plates dans le creux, abstraction faite, bien entendu, de la forme plus aiguë que les ondes présentent dans des circonstances spéciales, comme, par exemple, quand elles se forment sous l'action du vent.
D'après cela, si Ton représente par d\ l'augmentation de longueur
du côté d'z correspondant à l'augmentation de volume ^ dX. de l'élément à un instant donné, la somme de toutes ces augmentations dX sur une verticale donnée à partir du fond jusqu'à l'onde interne cor-
f c/X, fera connaître en p
chaque point de combien il faut raccourcir l'ordonnée de la sinusoïde correspondante, afin d'avoir la courbe de l'onde corrigée, ou, pour mieux dire, plus approchée.
La nouvelle ordonnée £ aura pour valeur
En procédant d'une manière analogue, on arrivera à Tapproximation que Ton veut.
Or, par rapport au volume (— rfX -\- dx) d' z de l'élément avec son propre signe, on a
dx par suite,
ou encore
,dp X d\ = ~\ vr^ ^ sinn-j-
4 U^^'-'LjL^dp d'où
, a» ir« X\ It rfa . X I ,
. + ^v-,cos7i^)j-^-sin7:-j-rf/>,
-i- -p,- cosTT j^ smTT y- / tt'^ «a -r -j- smTT j- / aa 4- const. ,
puisque kp correspond a, et que pour/? =P, a — o.
En observant en outre que, pour /? = p, ). = o, on aura définitivement
[JW «w
pL
a' ir' . X X a Tt . X
A X = L et X = o correspond toujours X = o.
332 CORNAGLIA.
Dans le cas de X = -> auquel correspond l'augmentation maxima
du volume des éléments," et par conséquent le raccourcissement maximum de l'ordonnée de l'onde sera
pL
A la surface du liquide pour laquelle /? = o et a = A, on aura
^' "" 4 L'V 2W-hL "^ 4W-f-L/ "^ 24 L' "^ 2 L'
En faisant l'application de cette formule au cas numérique traité plus loin, on obtient
et,* par suite, l'ordonnée du milieu des branches de l'onde visible qui, avec la sinusoïde, était de 4™»ooo avec la courbe corrigée, devient de 3", 549.
