Forme de la surface capillaire. — Soient {fi g. i

AmB une section normale faite en un point m, dont la masse est repi'ésentée par la même lettre, de la surface de séparation de deux fluides (L<) et (L), la concavité étant tournée vers (L, );

ah la Irace du plan tangent en m\

III, n les poids spécifiques des deux fluides.

Nous ne considérerons que le cas où les forces extérieures agissant

sur chaque point m de (L) et (L,) dérivent d'un potentiel m^, ^ étant une fonction des coordonnées de ce point.

Le point m est en équilibre sous l'action des forces extérieures et des actions qu'il reçoit des molécules de (L, ) et (L).

On peut considérer la résultante des actions moléculaires de (L, ) sur m comme étant due à celle Q, de ce fluide, dans l'hypothèse où ab serait la surface de séparation, et à la résultante prise en sens contraire — Q', des actions provenant des molécules du ménisque.

Si nous désignons pour (L) par Q et Q' les équivalents de Q, et Q',, l'action exercée par ce fluide sur m sera de même la résultante de Q

et Q'; de sorte que les forces Q, Q', Q,, — - Q', et les forces extérieures doivent se faire équilibre sur le point m.

Nous supposerons, avec Laplace, Gauss et Lamé, que(L), (L,) sont^ homogènes dans toute leur masse, tandis que, par des considerations très contestables. Poisson est conduit à admettre que la densité des deux fluides subit une altération dans le voisinage de la surface de séparation. Les forces Q et Q, seront ainsi considérées comme normales à A/wB.

Il faut donc, pour l'équilibre, que la résultante de Q', — Q', et de la force extérieure agissant sur m soit aussi normale à la surface, ou que le travail élémentaire de ces trois forces soit nul pour un déplacement de m sur cette surface ou encore que la somme de m # et du potentiel des actions du ménisque de (L) sur m et de celles du ménisque de (L,) prises en sens contraire soit constante pour tout point de la surface.

Le potentiel de Taction de la molécule m' du ménisque de (L) sur m est de la forme mnilf{r)^f[r) étant une certaine fonction de la distance r de ces deux molécules.

Considérons un élément de volume de ce ménisque, limité par deux plans normaux en m faisant entre eux un angle infiniment petit dB et par deux cylindres concentriques ; soient c, d les intersections avec ab et c', d' les intersections avec AB des génératrices de ces cylindres comprises dans le plan de la figure et situées d'un même côté de m. Si Ton remarque que le rayon y de la sphère d'activité est extrêmement petit, on peut supposer r= me, et par suite cd = dr\ le potentiel dû à l'action de la masse déterminée par l'élément de volume est, par suite,

m - /( r) ce' r dQ dr,

et, pour toute la portion du ménisque limitée par les deux plans normaux,

m-dO f /{r)cc'rdr.

Mais comme, en appelante le rayon de courbure de l'une des sections

H. RESAL

normales, on a

r expression ci-dessus devient

m / /(r)r dr=m — k,

n^^f/{rydr=k.

en posant

tétant une constante spécifique.

Soient R, R' les rayons de courbure principaux en m de la surface ; Tangle étant censé mesuré à partir de la trace sur le plan tangent du plan normal correspondant au premier de ces rayons, on a

cos' 6 sin' 8 "" R ' R' '

et

le potentiel pour tout le

ménisque est

k' r'VcosM

'"^i (-ir

) sin'ON ,^

Le potentiel du ménisque de (L, ) pourra se représenter de la même manière par

rnk, (i + ±).

Si donc on appelle mC une constante, nous aurons

m& (]^ -+- g? j — m^t (^-h ^j-^-m^-hmC = o, d'où

en posant

L'équation ci-dessus est celle de la surface AmB ou de ce que Ton

appelle la surface capillaire. En la mettant sous la forme

5,^^K(j^-hi,)=const.,

on reconnaît sans peine que Tinfluence du ménisque se traduit par une diminution de pression positive ou négative au point m de la surface, représentée par

En attribuant des signes à R et R' en raison du sens de la courbure de Tune et de Tautre des sections normales, Téquation de la surface peut se mettre sous la forme suivante.

/x étant luie constante positive dépendant de la nature de (L) et (L, ), que Texpérience seule peut faire connaître, et C une constante arbitraire dont on déterminera la valeur dans chaque problème par les conditions aux limites.

Dans le cas où la force extérieure est la pesanteur, l'équation (i)

devient, en posant — == j,

v«tant la distance du point m à un plan horizontal déterminé, et \ une constante remplaçant C

5. Influence d'une paroi sur la surface de contact. — Prenons pour plan de la ligure le plan normal au point m de Tintersection de la paroi et de la surface.

Soient

mn, aUi [fig^ 2) les tangentes en m aux deux sections faites respectivement dans ces deux surfaces par le plan de \\\ figure; I Tinclinaison de mn sur ma dans (L) ; mx la normale à la paroi, dont la substance est censée homogène.

Joutn. de Math. (3- série), tome VII. — Octobre 1881. 44

3'|() H. RESAL.

Si la paroi était un plan indéBni, son action /n.N sur m serait dirigée suivant Oa?, et N serait une constante.

Quelle que soit la forme de la paroi, on peut également considérer N

Fie- 6-

comme constant, car il est clair que les actions sur m exercées par les molécules du ménisque de la paroi ne peuvent donner, suivant Ox, que des composantes de Tortlre de quantités que Ton peut négliger.

Nous négligerons également Tinfluence des ménisques de (L) et (L,), qui est relativement faible, dans la détermination de la composante suivant mx de Faction qu'exercent les deux fluides sur m.

Soient mw!f[r) Faction exercée par une molécule wl de (L) sur m, r étant la distance des deux molécules.

Concevons dans (L) un cône ayant m pour sommet, d'une ouverture infiniment petite rfco, dont les génératrices fassent à un infiniment petit

près l'angle a avec mn. I^ masse élémentaire -r^ dtùdr de ce cône donne

suivant mx la composante ,

m-r^ dfù drf{ r) cos a,

et l'on a pour tout le cône

m-rfcocosa / /{r)r^dr= mqdtù cosa^

q étant une constante dépendant de la nature de (L).

Il vient, par suite, pour la composante normale totale due à Faction de ce fluide,

/n^/cosarfo,

Fintégrale se rapportant au fuseau sphérique de centre m d'un rayon

égal à Tunité, limité par les plans m/i, ma ; mais cette intégrale n*est autre chose que la projection du fuseau sur un plan perpendiculaire à

mx^ c'est-à-dire cos«. L'expression ci-dessus devient donc

mq-[\ — cosi).

En appelant y, l'équivalent de q pour (L, ), ce fluide donne de même la composante normale

mq-{\ -+- cos/).

On a donc, en faisant abstraction des forces extérieures, dont l'influence est relativement très faible.

d'où

mN 4- /wy - ( I - cosi ) -h /wy , - ( I H- COSI ) = o,

COSe == , ; )

et l'angle i est ainsi constant. •

4. Rappel des résultats de l'expérience, — Dans tout ce qui suit, nous prendrons le millimètre pour unité linéaire.

D'après l'expérience, on a

Pour Teau 2r826 i5,586i

Pour une dissolution saturée de sel marin. . . . 2,569 i3,2o

Pour Tacide azotique 2 , 366 1 1 , 20

Pour Tacide chlorhydrique 2,291 10, 5o

Pour le mercure ; 1,811 6 , 628

Pour Talcool .• • • • ' > 7^2 6 , 00

Pour rhuile de lavande i ,698 5, 60

Si nous désignons par a l'angle aigu de raccordement que forme un liquide avec une paroi, on a

Pour le verre ordinaire et le mercure (surface convexe), 4^.80

Pour le verre privé d'air et le mercure » 55 . 00

Pour Tacier et Talcool » 90.00

Pour le verre et Teau (surface concave) 0.00

'i|8 H. RESAL.

Nous dirons qu*uii liquide mouille ou ne mouille pas une paroi, selon que sa surface sera concave ou convexe dans la région du contact avec la paroi.

§ II. — Phénomènes capillaires relatifs aux liquides pesants.

ii. Forme que prend la surface d'un liquide au contact d'une lame verticale,— Nous supposerons que la lame est suffisamment longue, dans le sens horizontal, pour que ses extrémités n'influent pas d'une manière sensible sur la forme de la partie moyenne de la surface que l'on peut dès lors regarder comme cylindrique.

I^ tout se réduit donc à considérer une section faite dans la surface par un plan perpendiculaire a l'intersection de la lame avec le niveau statique du liquide.

Dans ce qui suit, nous supposerons que la surface est convexe; les

Fig. 3.

formules obtenues s'appliqueront à la concavité en changeant le sens positif de l'axe des v. Soient {fig. 3)

Ox^iX. Oy l'horizontale et la verticale du point d'intersection O de la

lame et du niveau ; x^ y les coordonnées d'un point quelconque m de la courbe ;

TIIKOniR MATHÉMATIQUE DE LA CAPILLARITÉ. '\]i)

9 Tangle que forme la tangente en ce point avec Ox;

a rintersection de la courbe avec O^;

s Parc am ;

OL Tangle de raccordement en a.

On a évidemment

€/v= — disiny, dx = —dscosf, — = -^.

Oii doit supposer, dans la formule (2), R'= oo et, en raison de Tinterprétation donnée à la courbure à la surface, ). = o, cToù successivefnent

d^ ^ si 11 «

2 ds^ à ds '

en remarquant que -~- est nul avec j, c'est-à-dire pour ç> = 180**. On tire de là