TO
qui dépend généralement de s fonctions elliptiques, et dont la solution ne peut se trouver que dans chaque cas particulier.
Supposons que les deux liquides soient l'eau et le mercure et (jue les deux lames soient en verre; nous aurons a = o et, à 3o' près,
= - > d ou
'i , 286 / I ^ ir , ir , . G/,, , o„ \
— =- ( 2 logtangy -h 4 cos 2 logtang -^ \ cos -7-
— 1,811 (cosOq / ^ = — / v^' <^s?/o — cosç> rfl> I = 2e' i 2 ,
V Jo Vcoscpo-cosç. J^ ' )
équation dont il nous paraîtrait superflu de faire des applications numériques.
7. Forme d'un liquide entre deux lames parallèles de même nature, — Prenons pour origine des coordonnées le point maximum O du proûl de la surface, et soient Ox la tangente en ce point et 0/ la verticale
Fig. 5.
du même point. Conservons d'ailleurs les notations précédentes. L'équation (2) nous donne
i = iCr + x),
ds à
X désignant ici la hauteur du point O en contre-bas du niveau. On déduit de là
i5î = :i(C-co.s?).
2 cls^ à
c étant une constante au moyen de laquelle X s'exprimera, en remarquant que les formules (a), [b) doivent donner la même valeur pour
-j^y en y supposant j = o et y = o, d'où
{c) \=ay/2{C-i).
Journ, de Math, (3* série), t. VII. — Octobre i88i.
354 n. RESAL.
De l'équation (i) on déduit successivement
di = 4
v/2 \/C — cos^ dY= — ^sinçûTç
y/2 y/C — cos<p y = a \/2 (v/C — cos(p -I- y/C — 1 ) ,
V/2 y/G— coscp
= -[e f -j=J=— I v^— Ceosyrfy ),
et X s'exprime au moyen de fonctions elliptiques. Si 2 e désigne la largeur des lamesy on a, pour déterminer C et par suite X, l'équation
que Ton ne pourra résoudre que par tâtonnements.
Mais, lorsque les lames sont très rapprochées l'une de l'autre, on peut éluder l'emploi des fonctions elliptiques en opérant par approximation, comme nous allons le faire voir.
8. Deux lames parallèles et verticales sont très rapprochées Vune de Vautre. — L'ordonnée/ étant très petite par rapport à e, le profil de la surface est peu différent d'un arc de cercle, dont le centre C est situé sur Oj, et dont nous déterminerons le rayon t par la double condition que l'arc de cercle passe par le point O et les points de raccordement.
Soient
Oy le prolongement de Oy au delà de O ;
Cx^ l'horizontale du centre C;
r = t(i H- a) le rayon vecteur mené de ce centre au point m ;
Q l'angle formé par ce rayon avec Cy .
Nous supposerons que u et ses dérivées sont assez petits pour que l'on puisse s'en tenir aux termes du premier ordre.
Si X continue à désigner la hauteur du niveau au-dessus du sommet O, la hauteur au-dessus du point m est, à très peu de chose près,
