X-+-t— tcosô

nous aurons

I /(Pu . du ^ /j . \

X H- 1^(1 — cosO)

358 H. RESA.L.

d'où

, . (Pu ^ f.du Xr-Ht.'[(i — cosO) — 2a*)

Posant

y,x Xr-t-t'— aa* v*p

l'équation (a) devient

(^) ^ -" ^"^s® ^■^^"+â(^"" c^se) = o.

Plus généralement, considérons l'équation

(3) ^-tange|-h2«+F(e) = o,

F(6) étant une fonction quelconque de 9, en raison de ce qu'elle se présentera plusieurs fois dans ce qui suit, et proposons-nous d'en trouver l'intégrale générale.

Posant

M = Usin5,

l'équation (3) se transforme dans la suivante,

d}\5 d\] . ,^ , .V F(e) -55r + ^(^ cote -tango) 4-4^=0,

d'où

rfU

= ^d^\^-fnQ)^''OcosBdQ\

i + tang ■

sinô

U = B + a( --ï^ + log- ' "'

I — tang -

- r • .f a fF{6)sm9cos0de,

j sin'OcosOJ ^ ^ '

A et B étant deux constantes arbitraires.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA CAPILLARITÉ. 35c)

On a enfin» pour l'intégrale cherchée,

i-t-tanglii = Bsin9-hAl —i-4~ sinolog r

-sinÔ f . ,f 'fF(e)sindcosddd.

J sin'e cos6 J ^ ^

Revenons maintenant à Téquation (c); comme elle est satisfaite par a = — ^> son intégrale s'obtiendra en ajoutant à cette valeur l'expression (4), en y supposant

F(0)=-^cos9,

ce qui donne

îQ f i4-tanga = — ^-hBsinô H- Al — i-f-sinÔlog 1

-h 3^(Ôsinô + cosÔ).

Il £aut que A soit nul, car autrement u deviendrait infini pour = 90^ ; il nous reste donc

(rf) M= - ^ -HBsîn(?-h ^(5sin5-+-cosô),

d où

ie) -^ = B cosô H- 1^ 6 cosff .

Or cette dernière valeur doit être nulle pour ô = o, puisqu au point correspondant la tangente est horizontale, ce qui exige que B soit nul. Nous avons donc finalement

36o H. RESAL.

Soit Q' la valeur de 9 correspondant au point de raccordement par lequel il nous est permis de faire passer le cercle de comparaison ;

nous aurons

B e' sin 0' 4- cos 6' - ^-J % =^'

équations qui feront connaître 6' et |3. Mais comme, dans la formule (rf), |3 est multiplié par le facteur \ supposé très petit, nous l'obtiendrons

avec une approximation suffisante en supposant Q'= a dans la

première des formules (/), ce qui donne

|3 = |m - — aj cosa -h sina.

En appelant se le diamètre du tube, on »

sinô' cosa et la formule {b) donne

X = ?^cosa+^j|[(^-a)cosa^-sina]-i|

pour la distance du sommet du ménisque au niveau.

10. Expression du volume d'un liquide compris entre sa surface libre et un plan horizontal déterminé, quelle que soit la forme de la section du tube. — Nous supposerons que la surface libre (S) présente sa convexité vers le plan, et nous désignerons par A la section du tube et par Pie périmètre du contour de la surface (S).

En nous reportant au n° 1 , nous pourrons écrire

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA CAPILLARITÉ. 36l

- étant la hauteur du plan au-dessus du niveau du liquide extérieur au

tube.

Concevons que Ton décompose la surface capillaire en éléments par des lignes de courbure infiniment voisines dans chacune des deux séries, et soient rfw un de ces éléments et ;^ l'angle que forme sa normale avec la verticale. Nous aurons pour le volume cherché, en ayant égard à la formule (a),

[b) v==Jycosxrfa) = |J(ji4-i-,)cosxrfa)-+-^A.

Considérons maintenant une surface (S') parallèle à (S) et qui en soit distante d'une quantité infiniment petite £. Les normales aux sommets de dcô détermineront dans (S') un élément rfo' dont les côtés seront

dans les rapports ^ y —frr- avec ceux de d(ù.

On a donc

dui^ (R — e) ( R^— e) / I I \

^to — RK' — ' Vr'^RV^'

et la formule {b) peut s'écrire ainsi :

Or l'intégrale représente la différence des projections horizontales des aires de (S) et (S'), ou la projection de la zone déterminée dans (S) par les normales menées aux points du contour de (S'), qui est égale à ?€ cosa. On a donc

(5) V=ï^cosa+^A.

Si le tube est circulaire et si le plan sécant est le niveau extérieur du

liquide, on a

C = o, P = 27rt,

et, en posant comme plus haut - = a^f on a

Y = a^ X, 2715 cosa.

Journ, de Math, (3® série), tome VII. ~ Noyembre i88i. 4^

302 H. RESAL.

En désignant par X la hauteur moyenne de (S) au-dessus du niveau, on aura

V = ne'X, d'où

•. 2a*cosa

ce qui est conforme au résultat obtenu au numéro précédent, aux termes en e près.

Dans le cas de deux lames parallèles on a

V = a'^necosa,

d'où X, qui est moitié moindre que dans le cas d un tube.

11. Liquides superposés dans un tube circulaire capillaire. — Considérons un tube plongé dans un liquide (A, ) dont la portion comprise dans ce tube soit surmontée d'un volume déterminé d'un autre liquide (A) de moindre densité.

Nous supposerons que (A) mouille et que (A,) ne mouille pas la paroi intérieure du tube. Le même raisonnement s'appliquera à toute autre hypothèse.

Considérons une section faite par un plan passant par Taxe du tube.

Soient

aOa, a|0,ai les profils des ménisques supérieur et inférieur; 00| l'axe du tube ;

Il l'intersection, avec sa paroi intérieure, du plan de niveau extérieur ; y,y^ les distances de deux points m, /w, de aOa, a|0«a| situés sui' la

même verticale à la droite II ; n l'intersection de /wm, avec II ; C la pression censée constante exercée sur la section IL

Nous admettrons pour (A) les notations qui précèdent, en les affectant de l'indice i pour (A,). ^

Concevons un cylindre vertical d'une section infiniment petite dont m/Tii serait l'axe.

L'action du ménisque aOa s'ajoute à la réaction C en n pour faire équilibre au poids de ce cylindre, d'où la relation

(a) R(^^ + i,) = ny-C.

On a de même

ib) K,(ji-4-ji.)=n.j.-c.

Le volume compris entre les surfaces aOa et a|0|ai est donné et peut être représenté par

[c) Ee^H,

H étant la portion de la longueur du tube qu'occuperait le liquide dans le tube sans les effets de la capillarité. D'après le numéro précédent, les volumes laOal, I|a|0|a|I| ont respectivement pour expressions

cosa

Il n

K.27te Cue'

n cosa, H-

n. ' en égalant leur somme à l'expression (c), on trouve

2 /K cos a K,cosa,\

(rf) C =

n ^ DJ

En portant cette valeur dans la formule (6), on obtiendra une équation analogue à celle que nous avons intégrée par approximation aun^9.

Si par approximation on prend R, =R', ~ ccosa,, la formule (b) donne, pour la valeur moyenne de la distance du ménisque inférieur au

niveau,

„ 2 / cosKa K, \

,. II — h — cosa,

2Kcosa, e\ Il II, /

y* — "~nï ' ; ï '

no.

364 ^' RESAL.

ou encore

H (a* cos a -4- ûfî cos a.)

La même méthode s'applique au cas où plusieurs liquides se superposeraient dans un tube.

12. Forme d'une très petite goutte d'un liquide reposant sur un plan horizontal qu elle ne mouille pas. — Nous aurons dans ce cas

X étant une constante dont la valeur résultera de la solution du problème. Si les dimensions de la goutte sont très petites, il en sera de même de j et en dehors de sa zone de contact avec le plan.

En nous reportant au u?^^ on voit que la forme de la goutte est donnée par Téquation (c), dans laquelle j3 remplace l'inconnue X. On en déduit de la même manière

I sinO-h cos6

ôcosô.

Si V désigne l'angle que forme la tangente avec le rayon vecteur, on a

Soit 0' la valeur de Q correspondant au raccordement avec le plan ; on a

V = 6'- 90^4- a, d'où

[b) 6' = i8o«-a- ^g'cos5,

et, en négligeant le carré de ^j

6'=:i8o^— a 4- -5-^(71 — a) sina.

Nous supposerons que l'on prenne pour % le rayon de la sphère équivalente à la goutte, et qui est par conséquent une donnée de la question.

Nous devrons exprimer que l'excès de l'aire de la section méridienne sur celle d'un grand cercle est nulle, ou que l'on a

^ t/'« dB - ^^' ^ "')^^'"^'^»^^' !(;,„ e>) 3= O.

a* étant la valeur de u correspondant à ô = 6'. On déduit de là

--^(—64- sinô'cosÔ ) ~,

, ».* r2sin6'— 6'cosô' i /^, . ^, ^,. . -., ^,"1

H- ^ ^ g(ô'sinô'-i-cosÔ')sinÔ cosô' =0,

équation d'où Ton déduira^ qui,commeondevait s'y attendre, n'est

pas une quantité très petite, puisque c'est devant son équivalent X que nous avons négligé des termes.

13. Goutte très large. — L'équation de la section méridienne de la surface capillaire de révolution peut se mettre sous la forme

^ ' as œ a*

(f étant l'angle que forme la tangente avec l'axe des x\ cette équation ne paraît pas pouvoir s'intégi'er, et, dans ce qui suit, nous devrons nous contenter d'approximations.

Nous placerons l'origine au sommet de la courbe, en prenant pour origine l'horizontale de ce point.

366 H. RESAL.

Si une étendue assez grande 9 reste suffisamment petite pour que

Ton puisse négliger le carré de cet angle, ce qui permet de supposer

dv ds = dx^ (f = siny = tangç = ~-> l'équation (a) prend alors la forme

suivante,

da:^ X dx a} *

équation dont l'intégrale est

y-i-\ = k, f \ef +e ' ) aa