A, r(e^"*V e->")log(a;sin»«)rfa
A| et Aa étant deux constantes arbitraires. Mais Aj est nul, car autrement jr serait infini pour a: = o, et, comme y est nul pour ^ = o, il vient
d'où
"^^ dx 2TzaJ ^ ^ '
et l'on voit que -^ est nul pour a? = o, ce qui devait être.
Supposons que la goutte soit assez large pour qu'une valeur de 9, de 9, inférieure à 20°, corresponde à une valeur / relativement grande de^, et soit y, la valeur correspondante de j. Nous aurons
1 % X / / -cos» C0»*»\ 1
f ^"g?<=5^/ \^' -f-e " ycos&>rfw.
(*) Poisson (p. 21 3) pose une formule tout outre, sans faire connaître de quelle manière il y est arrivé ; mais elle est inexacte, car elle ne satisfait pas à l'équation différentielle.
TnÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA' CAPILLARITÉ. 867
Mais, comme X est inconnue, la valeur de / ne peur pas être fixée a priori et est subordonnée à la solution du problème. L'équation (a) donne alors, par approximation.
Quoique sous une forme plus simple, elle ne parait pas pouvoir s'intégrer. Nous sommes ainsi réduit à déterminer des valeurs approchées de 9 et de a? en fonction dey, en négligeant le carré de j-
Si nous posons ç? = m 4- y > etsi nous identifions après la substitution
dans^(c) les termes indépendants et dépendants de y> nous trouvons
, r\ . du y~h\
Si C est une constante arbitraire, la dernière de ces équations
donne
V = - — > sinu
et l'on a, par Suite,
smy = smw -+- y cota
Mais u déduit de (/) renfermera une constante arbitraire C, et l'on sera libre d'établir entre C et C telle relation que l'on jugera convenable, pourvu -quey =yi, l'équation {g) donne 9 ~ y,. Il nous est donc permis de supposer C = o, et, en intégrant l'équation (/), on trouve
cosu = cosy = COS91 - ^ [(7 -+- ^y - (/i -^>^)']» d'où
[h) x^l^i colyrff^ 1 / , , .. dy,
intégrales réductibles en fonctions elliptiques.
3G8 H. RESàL.
Soient h la hauteur de la goutte ou l'ordonnée du point de raccordement correspondant à cosç) = — cosa. Nous aurons
(i) cosî?^ - ^ [(A + X)» - {y\ 4- af\ =- cosa,
et l'équation (A) fera connaître la valeur oc' de x du point de raccordement.
On conçoit que l'on puisse exprimer que le volume de la goutte est donné, ce qui établira entre X et /une relation qui, jointe à la seconde des formules (2), permettra de déterminer ces constantes. Il faudra s'assurer ultérieurement que / est relativement grand, comme on l'a supposé.
14. Liquides soustraits à l'action de la pesanteur. — Dans ce qui suit, nous considérerons avec M. Plateau une masse liquide en suspension dans un autre liquide de même densité avec laquelle elle ne peut se mélanger.
Si la masse considérée est en repos, elle affectera la forme sphérique. Mais si on lui imprime un mouvement de rotation, selon que la vitesse sera au-dessous ou au-dessus d'une certaine limite, elle deviendra un sphéroïde aplati, ou elle se décomposera en sphéroïde et im anneau tournant autour de ce sphéroïde.
Soient n la vitesse de rotation ; ce la distance d'un point quelconque
de la surface à Taxe, le potentiel de la force centrifuge sera ; si
l'on attribue à a la même signification que ci-dessus, et si l'on pose 6* = — ^> l'équation de la surface sera
X étant une constante.
Elle peut se mettre sous la forme suivante :
^ sin9 j^, , .
OU, en multipliant parar,
dr sîn«p I
= -hi^'-^n
dx
On déduit de là, en appelant C une constante arbitraire, et
pour l'intégrale de Féquation proposée.
15. La surface diffère peu d'une sphère. — C'est ce qui a lieu quand la vitesse angulaire est suffisamment faible, et alors l'équation de la surface pourra se mettre sous la forme
d'^u ^ du ^' / • «A ^ \
-R^ - ^angtt — 4- 2w 4- ^(sin»5 -*- X) = o.
et a pour intégrale
Xt» / i-Mang;
M = B sin ô T5 -4- A ( — I -h sin log
