I -h tang

log ^ disparaissent ou que Ton ait

I — tang -

Journ. de Math, (3« série), tome VII. — NoTEUsnE 1881. 4 7

370 H. RESAL.

et alors, en comprenant la constante de — yi^ dansPindéterminée— ^ ^

il vient

u = Bsin9 Yn -+- y-psin^S

-jr^ =Bcos6 T^sinScose.

Pour que la tangente au sommet soit perpendiculaire à Taxe de rotation, il faut que B soit nul ou que Ton ait B = o, et par suite

w = j~, -h 77^ sur 9.

Si nous prenons pour t le rayon de la sphère équivalent au sphéroide, il faut que / u^dO soit nul, ce qui donne

En coordonnées rectangulaires, nous aurons pour l'équation de la surface,

ar» -+- j* = t='(H- «)» =r i«(l + 2U) ou

OU encore, aux termes près du second ordre,

ce qui est l'équation d un ellipsoïde en révolution aplati dont il est facile de trouver les axes.

16. La surface diffère d'un tore, — Nous supposerons qu'il est ainsi, sauf vérification ultérieure, lorsque la distance de la masse à Taxe de rotation est très grande par rapport aux dimensions transversales de l'anneau.

Soient c le centre du cercle générateur; / sa distance à l'axe, nous avons

a? sZ-f-ï-sinô;

en désignant par C une constante

I sin6 I r • /i ^ / * /i\l

ui = 1 ^-^ =• 7 sinS >(i — COS26) •

Par suite,

;?i57-^"-H(-^-7Jsinô-^cos2Ô~C = o; d'où

a = C4- -(-yr ■+" -^jÔcosÔ— g^cos20-h AcosÔ -h Bsinô. ■-^ = V-/' — ^j(cos6— Osin0)4- ^ sin 2$ — Asin0 4-BcosS.

On doit avoir -^ = o pour = 90®, d'où

Par suite,

u = -y^ ^j fcosô —ôsinô-- -sinôj + ^,cos20-f-Bsinô-}-C;

B et C restent indéterminés, en raison même de l'origine qui n'a pas été fixée. Si nous la plaçons au milieu du diamètre horizontal, u devra avoir la même valeur pour ô = 90** et = — 90**, d'où

H. RESA.L.

§ III. — Des liquides uniquement soumis à leurs actions mutuelles.

Si l'on introduit une masse déterminée M d'un liquide A dans un milieu formé d'un autre liquide B de même densité que le précédent, mais avec lequel il ne peut pas se mélanger, A se trouve dans les conditions d'un liquide uniquement soumis à ses actions mutuelles, et c'est ainsi que M. Plateau a obtenu expérimentalement, suivant les conditions qu'il imposait à M, les différentes formes que peut affecter un solide de révolution dont la moyenne courbure est constante. Nous avons ainsi à nous poser un problème résolu déjà depuis longtemps par bien des savants, mais en nous efforçant à en simplifier la solution.

17. Équation générale des surfaces de révolution dont la moyenne courbure est constante. — L'équation (i) du n^2 nous donnera l'équa-

Fig. 6.

tion différentielle de la surface de révolution que peut affecter une masse liquide soustraite à l'action des forces extérieures en y supposant

.f = o, et, en représentant la constante - par a A, nous aurons

THEORIE MATHÉMATIQUE DE LA CAPILLARITÉ. ijS

Soient [fig. 6)

Oj Taxe de révolution ;

Qx la perpendiculaire en un point quelconque déterminant avec Oo? une section méridienne que nous allons considérer ;

7 l'angle que forme avec Ox la tangente en un point m dont les coordonnées sont X et y;

m\ la normale en m limitée à Qx\

s Tare de la courbe mesurée à partir de Oy,

Nous avons

d'où

cos^^o sincp .

ax X

</.r sin 9 .

En intégrant et désignant par B une constante arbitraire, on trouve

(i) sm9 =

RemaYque. ~ Si la surface est fermée, on a 9 = pour a? = o, par suite B = o et

siny = Aa?.

On déduit de là, en désignant par C une constante,

dy ^ Kx

tang?

et enfin

équation d'un, cercle. D'où il suit que la sphère est la seule surface de réçolution à courbure moyenne constante qui soit fermée.

Revenons maintenant à Téquation (i), et désignons par x^ et a^o les

valeurs de x qui correspondent à 9 = 90**, y =— 90^. Nous aurons

— a?2= Aa?2-4-B,

d^où

1 ^ Xy Xt

et, en substituant a?, et x^ aux constantes. A et B, nous aurons

cos© == =h — — î J(x\ — a^'-^ ) (a;- — a?" ) ,

tangf = ^

Si nous posons

rr* = x^^ cos^ vj> -1- a?, sin^ (|*,

ij; étant un angle auxiliaire, ce qui est permis puisque x^ et x^ sont les valeurs extrêmes des a?, nous aurons

tSiUQO = il - - = - - - = ^— )

^* {xl — ^J) sirnj'cos^' dx

, {x\ — x\)s{n^cos^d^

^x\ cos^^^ -+- xl sin^*^ d'où

dy'=± \jx\ cos* ïj^ -f- a?^ sin ^ fl^t]/ =p -;==

Si nous plaçons l'origine des coordonnées de manière que l'on ait 7 = pour a? = o, nous aurons

■iC;

Nous aurons ainsi deux systèmes de courbes selon que x^ sera de même signe que a;, ou sera de signe contraire.

COURBES DÉFINIES PAR fîNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 3^5

Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle ; Par m. h. POINCARÉ,

Ingénieur des Mines.

Une théorie complète des fonctions définies par les équations différentielles serait d'une grande utilité dans un grand nombre de questions de Mathématiques pures ou de Mécanique. Malheureusement, il est évident que dans la gi'ande généralité des cas qui se présentent on ne peut intégrer ces équations à l'aide des fonctions déjà connues, par exemple à l'aide des fonctions définies par les quadratures. Si l'on voulait donc se restreindre aux cas que Ton peut étudier avec des intégrales définies ou indéfinies, le champ de nos recherches serait singulièrement diminué, et l'immense majorité des questions qui se présentent dans les applications demeureraient insolubles.

Il est donc nécessaire d'étudier les fonctions définies par des équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples, ainsi qu'on a fait pour les fonctions algébriques, qu'on avait cherché à ramener à des radicaux et qu'on étudie maintenant directement, ainsi qu'on a fait pour les intégrales de différentielles algébriques, qu'on s'est efforcé longtemps d'exprimer en termes finis.

Rechercher quelles sont les propriétés des équations différentielles est donc une question du plus haut intérêt. On a déjà fait un premier pas dans cette voie en étudiant la fonction proposée dans le voisinage d'un des points du plan. Il s'agit aujourd'hui d'aller plus loin et d'étu-

dier celte fonction dans toute V étendue du plan. Dans cette recherche, notre point de départ sera évidemment ce que Ton sait déjà de la fonction étudiée dans une certaine région du plan.

L'étude complète d'une fonction comprend deux parties :

I** Partie qualitative (pour ainsi dire), ou étude géométrique de la courbe définie par la fonction ;

2° Partie quantitative, ou calcul numérique des valeurs de la fonction.

Ainsi, par exemple, pour étudier une équation algébrique, on commence par rechercher, à Taide du théorème de Sturm, quel est le nombre des racines réelles, c'est la partie qualitative, puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l'étude quantitative de l'équation. De même, pour étudier une courbe algébrique, on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de Mathématiques spéciales, c'est-à-dire qu'on cherche quelles sont les branches de courbes fermées, les branches infinies, etc. Après cette étude qualitative de la courbe on peut en déterminer exactement un certain nombre de points.

C'est naturellement par la partie qualitative qu'on doit aborder la théorie de toute fonction et c'estpoiirquoi le problème qui se présente en premier lieu est le suivant :

Construire les courbes définies par des équations différentielles.

Cette étude qualitative, quand elle sera faite complètement, sera de la plus grande utilité pour le calcul numérique de la fonction et elle y conduira d'autant plus facilement que l'on connaît déjà des séries convergentes qui représentent la fonction cherchée dans une certaine région du plan, et que la principale difficulté qui se présente est de trouver un guide sûr pour passer d'une région où la fonction est représentée par une série à une autre région du plan où elle est exprimable par une série différente.

D'ailleurs, cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt du premier ordre. Diverses questions fort importantes d'Analyse et de Mécanique peuvent en effet s'y ramener. Prenons pour exemple le problème des trois corps : ne peut-on pas se demander si l'un des corps restera toujours dans une certaine région du ciel ou bien s'il pourra

s'éloigner indéfiniment ; si la distance de deux des corps augmentera, on diminuera à l'infini, ou bien si elle restera comprise entre certaines limites? Ne peut-on pas se poser mille questions de ce genre, qui seront toutes résolues quand on saura construire qiialitîitivement les trajectoires des trois corps? Et si l'on considère un nombre plus grnnd de corps, qu'est-ce que la question de l'invariabilité des éléments des planètes, sinon une véritable question de Géométrie qualitative, puisque, faire voir que le grand axe n'a pas de variations séculaires, c'est montrer f|u'il oscille constamment entre certaines limites?

Tel est le vaste champ de découvertes qui s'ouvre devant les géomètres. Je n'ai pas eu la prétention de le parcourir tout entier, mais j'ai voulu du moins en frimchir les frontières, et je me suis restreint à un cas très particulier, celui qui se présente d'abord tout naturellement, c'est-à-dire à l'étude des équations différentielles du premier oriire et du premier degré.

Dans ce qui va suivre, je considère les courbes définies par une

équation de la forme

dx dy

où X et Y sont deux polynômes entiers en x et en y. C^es courbes, je les appelle des caractéristiques.

Si l'on considère les deux portions d'une même caractéristique qui se trouvent de part et d'autre d'un de ses points, on aura divisé cette caractéristique, à moins qu'elle ne soit une courbe fermée, en deux demi-caractéristiques distinctes. Ces deux demi-caractéristiques joueront, dans ce qui va suivre, un rôle de quelque importance. Par exemple, supposons que la caractéristique soit la spirale logarithmique

on pourra la diviser en deux demi-caractéristiques, comprenant, la première, tous ceux de ses points pour lesquels

la seconde, tous les points pour lesquels

Journ. de Math. (3* série), tome VII. ~ Novembre 1881. 4^

Afin d*éviterles difficultés que pourrait présenter Tétude des branches infinies, nous supposerons que les courbes sont projetées gnomoniquement sur une sphère. Soient un plan P, et un point quelconque [x^y] dans ce plan; si Ton considère une sphère quelconque divisée en deux hémisphères par un plan parallèle au plan P et que nous appellerons plan de Téquateur; si Ton joint le centre de la sphère au point {xj y), la droite, ainsi déterminée, coupera la sphère en deux points diamétralement opposés; nous appellerons (a?, y, i) celui qui est situé dans le premier hémisphère, (.r, j, 2 ) celui qui est situé dans le second hémisphère.

Toute ligne droite du plan P se projettera sur la sphère suivant un grand cercle. Aussi, quand nous parlerons de la tangente en un point à la caractéristique, il s'agira de Tare de grand cercle qui touche la caractéristique en ce point.

Tout grand cercle coupe Téquateur en deux points (ù^ et w,; l'angle de direction du grand cercle qui passe par les points diamétralement opposés w, et wa sera l'arc compris entre «1 et un point fixedeTéquateur. Le coefficient angulaire sera la tangente de l'angle de direction.

Enfin, les points d'inflexion d'une caractéristique seront les points où elle est osculatrice à un grand cercle.

11 est évident que, dans ces conditions, si l'on excepte quelques points singuliers, par tous les points de la sphère passe une caractéristique et une seule, et le coefficient angulaire de la tangente est donné par l'équation

da; dy

D'ailleurs, tout est symétrique par rapport au centre de la sphère.