DÉFINITIONS ET GÉNÉRALITÉS

Avant daller plus loin, il est nécessaire de donner certaines définitions et certains théorèmes généraux qui seront d'un grand secours dans l'étude qualitative des courbes sphériques.

Considérons d'abopd des courbes sphériques ne présentant ni point double, ni point d'arrêt.

Nous appellerons cycle sphérique une courbe telle qu'après en avoir parcouru un arc fini on revienne au point de départ : p^r exemple, un petit ou un grand cercle.

Nous appellerons spirale sphérique une courbe qui coupe un cycle sphérique en un seul point, par exemple la loxodromie, qui coupe les parallèles en un seul point.

Un cycle sphérique divise la surface de la sphère en deux régions que nous appellerons, Y wne^V intérieur àa cycle ; l'autre, Y extérieur ; on ne peut passer de l'une à l'autre sans couper le cycle.

Si l'on joint deux points d'une caractéristique par un arc de courbe quelconque qui n'ait avec la caractéristique d'autre point commun que ses deux extrémités, l'arc de courbe et l'arc de caractéristique compris entre les deux points formeront, par leur ensemble, un cycle sphérique. Par exemple, si l'on joint par un arc de grand cercle les deux extrémités d'un arc de petit cercle, ces deux arcs formeront un cycle fermé.

Mais il peut se présenter deux cas.

Premier cas. — Les deux branches de courbes formées par la caractéristique prolongée au delà des deux points que l'on a réunis par un arc de courbe quelconque, sont toutes deux intérieures ou toutes deux extérieures au cycle formé par les deux arcs.

Dans ce cas, nous dirons que l'arc de courbe sous-tend Tare de caractéristique.

C'est ce qui arrive, par exemple, dans le cas des deux extrémités d'un arc de petit cercle réunies par un ;irc de grand cercle.

Deuxième cas, — Les deux branches de courbes formées par la caractéristique, prolongée au delà des deux points qu'on a réunis par un arc de courbe quelconque, sont, l'une intérieure, l'autre extérieure au cycle formé par les deux arcs.

Dans ce cas, nous dirons que l'arc de courbe sur-tend l'arc de caractéristique.

Supposons, par exemple, que la caractéristique soit une loxodromie;

38o H. POINCARÉ.

elle coupera un méridien quelconque en une infinité de points. Considérons parmi ces points d'intersection deux points consécutifs et concevons qu'on les joigne d'une part par un arc de loxodromie, d'autre part par un arc de méridien, Tare de méridien sur-tendra l'arc de loxodromie.

De la définition même des cycles on peut tirer immédiatement les résultats suivants :

1° Deux cycles se coupent en un nombre pair ou infini de points;

2® Toute courbe algébrique se compose d*un ou plusieurs cycles;

3® Toute courbe algébrique coupe un cycle quelconque en un nombre pair ou infini de points.

Théorème I. — Si Von divise une caractéristique, qui n'offre ni point double,- ni point d'arrêt, en deux demi-caractéristiques, si l'une de ces demi-caractéristiques ne coupe aucun des cycles algébriques quen un nombre ^ni de points, la caractéristique' donnée est un cycle.

En effet, construisons une courbe plane C définie de la manière suivante : l'abscisse d'un point |3,- quelconque de la courlje Csera l'arc de la caractéristique, compté depuis un point fixe a© jusqu'à un point a, correspondant à /3|, et l'ordonnée de /3/ sera l'angle de direction de la tangente à la caractéristique au point a/.

I® A un point |3|- de la courbe C correspond toujours un point ce,- et un seul de la caractéristique;

2^ La caractéristique n'ayant pas de point d'arrêt, la courbe Ci n'en aura pas non plus^

3° A un point «^ de la caractéristique correspond : ou un point |3,de la courbe C, si la caractéristique n'est pas un cycle ; ou une infinité de points ^, si la caractéristique est un cycle;

4** La courbe C ne coupe qu*en un point les droites . parallèles à Taxe des j;

5** A l'une des demi-caractéristiques correspond la partie de la courbe C située à droite de l'axe des y; à l'autre, la partie située à gauche de cet axe. Nous supposerons, pour fixer les idées, que la demicaractéristique qui, d'après hypothèse, ne coupe aucun cycle algébrique qu'en un nombre fini de points est celle qui correspond à la demi-courbe C, située à droite de l'axe desj^.

COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 38l

Première hypothèse, — Il y a sur la demi-courbe C une infinité de points ^i correspondant à des points a, situés sur Téquateur.

Comme par hypothèse la demi-caractéristique considérée ne coupe Téquateur (qui est un cycle algébrique) qu'en un nombre fini de points, il n y a qu'un nombre fini de points a/ sur Téquateur, Il faut donc qu'à un point a^ correspondent un nombre infini de points /3^, c'est-à-dire ({uc la caractéristique soit un cycle.

Deuxième hypothèse. — Il y a sur la demi-courbe Q une infinité de points ^i où la tangente à la courbe C est parallèle à l'axe des a?.

C'est dire qu'il y a une infinité de points |3/ correspondant à des points a,-, qui sont des points d'inflexion de la caractéristique. Or le lien des points d'inflexion des caractéristiques est une courbe algébrique ; dOiic, par suite de l'hypothèse faite à l'énoncé du théorème, il y a seulement un nombre fini de points d'inflexion à la caractéristique donnée. Il faut donc encore qu'à un point a,- corresponde une infinité de points |3/, c'est-à-dire que la caractéristique soit un cycle.

Si l'on suppose qu'aucune des hypothèses 1 et 2 ne sont remplies, quand l'abscisse du point /3, sera plus grande qu'une certaine valeur â?^, ce point correspondra à un point a,-, qui sera toujours dans un même hémisphère, dans le premier hémisphère par exemple, et l'ordonnée de /3, ira toujours en décroissant ou toujours en croissant, toujours en croissant par exemple. On se trouve donc en présence d'un troisième cas qui comporte Ini-mème deux hypothèses.

Troisième hypothèse. — Quand x varie depuis a;© jusqu'à l'infini, l'ordonnée de j3,-, c'est-à-dire l'angle de direction de la tangente à la caractéristique, va toujours en croissant, mais en restant plus petit qu'une quantité donnée.

Soient

|3, le point de la courbe C dont l'abscisse est x^ ; a, le point correspondant de la caractéristique; a, w, la tangente à la caractéristique en a, ; w, le point où a, w, rencontre l équateur;

OLi un point quelconque de la caractéristique correspondant à un point ^i situé à droite de |3, ;

382 H. POINCARÊ.

OLi fùi la tangente en ce point ;

ri), le point où cette tangente rencontre Téquateur.

Quand a, s'avancera sur la caraeîéristique, w/ se déplacera vers la droite, mais en restant toujours sur l'arc d'équateur Wi w, ; la demicaractéristique a< «/, qui ne peut franchir Téquateur, est convexe par

Fig. I.

hypothèse, et tout entière comprise dans le triangle sphérique a, w, w,, c'est-à-dire que sa longueur curviligne reste toujours plus petite que a,«i 4- «1 wj, c'est-à-dire qu'elle est finie, ce qui est absurde; la troisième hypothèse est donc inadmissible.

Quatrième hypothèse. — Quand x varie depuis x^^ jusqu'à l'infini, l'ordonnée du point ^,, c'est-à-dire l'angle de direction de la tangente à la caractéristique, va toujours en croissant jusqu'à l'infini.

Ci' est- à-dire que l'angle de direction de la tangente à la caractéristique peut prendre toutes les valeurs

où jo ^st une constante donnée et n un nombre positif entier quelconque. C'est dire que la tangente de l'angle de direction, c'est-à-dire le coefficient angulaire de la tangente à la caractéristique, est égale à

pour un nombre infini de points ^, différents.

Or le lieu des points où le coefficient angulaire de la tangente à la caractéristique est égal à tangVo est une courbe algébrique qui ne peut, d'après l'hypothèse, rencontrer Jgi demi-caractéristique qu'en un nombre fini de points a^. 11 faut donc encore ici qu'à un point a, correspondent une infinité de points |3, , c'est-à-dire que la caractéristique donnée soit un cycle.

En résumé, des quatre hypothèses que l'on peut faire, la première, la deuxième et la quatrième conduisent a ce résultat, que la caractéristique est un cycle; la troisième est inadmissible. .

Le théorème est donc démontré.

Définition. — Nous appellerons polycjcle une courbe fermée comme le cycle, mais présentant des points doubles.

Exemple : intersection de la sphère avec un cylindre qui lui est tangent en un point.

Système topographique. — Si l'on trace sur la sphère un système de cycles et de polycycles tel, que par chacun des points de la sphère passe un cycle ou un polycycle, et un seul, excepté en quelques points singuliers par les(|uels ne passe aucun cycle, nous dirons que ce système de cycles est un système topographique, parce qu'il est analogue au système des courbes de niveau d'un terrain.

Les points doubles des polycycles sont alors analogues aux cols de ce terrain, les points singuliers par lesquels ne passe aucun cycle sont analogues aux fonds et aux sommets du terrain; de sorte que nous appellerons ces divers points : cols, fonds et sommets du système.

Par exemple, le système des courbes

f{x,y) = const.,

où /est un polynôme entier en x et en y, si ces courbes ne coupent pas l'équateur, est un système topographique. Les cols sont les points où l'on a à la fois

df df__ {^Ly^^£^-^ •

da: ~" cly " ^' \dxdy) dx^ dy^ ^ ^ '

38f4 H. POINCARK.

les sommets sont les points où Ton a les fonds sont les points oùroii a

rf^ ~ rfj ~ "' \ (Pf ) dx^ dy^ ^ ' dr*^ "•

De même, si l'on a entre z, x et y une relation algébrique

/(z,a:,j) = o, telle que l'on n'ait jamais

df

et que z ne puisse rester fini et réel quand x et ^ sont infinis et réels, le système des courbes

z = const.

est un système topographique.

Par exemple, soit

^ ne peut être nul que si

X* -h y -h 1 = 0, ce qui est impossible.

De plus, si Ton considère z comme une constante, les termes du degré le plus élevé s'écrivent

c'est-à-dire que les courbes z = const, ne coupent pas l'équateur, c'est-à-dire que ces courbes forment un système topographique.

Le lieu des points où chacun des cycles d'un système topographique est tangent à une caractéristique s'appellera la courbe des contacts.

Si le système topographique est algébrique, la courbe des contacts sera elle-même une courbe algébrique.

Si Ton considère un système topographique et l'un des polycycles du système correspondant à un des cols du système, une partie des fonds et des sommets est à Textérieur du polycycle, une autre partie à l'intérieur, de sorte que cha(|ue col distribue d'une certaine manière les fonds et les sommets du système.

Deux systèmes topographiques sont analogues lorsqu'ils ont mêmes cols, mêmes fonds, mêmes sommets et que les fonds et les sommets sont distribués de la même manière par les cols.