DE LA SPHÈRE
Avant d'étudier les propriétés des caracteristiques dans toute Tétendue de la sphère, il faut rappeler les résultats déjà acquis relativement à l'étude de ces courbes dans une région limitée de la sphère. Les principaux théorèmes qui se rapportent à cette étude sont énoncés et démontrés dans divers Mémoires de Cauchy, miiXxxXéf^ Mémoires sur le calcul des limites^ et insérés aux tomes XIV, XV et XVI des Comptes œndus des séances de l'Académie des Sciences et dans le célèbre Mémoire de MM. Briot et Bouquet, inséré dans le Tome XXXVI du Journal de l'École Polytechnique. Je me suis moi-même occupé de cette question dans une Note qui se trouve dans le XLV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique et dans une Thèse pour le doctorat que j'ai soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris.
Supposons d'abord que le point autour duquel on veut étudier les caractéristiques soit
X et Y, qui sont des polynômes en x et en y, peuvent être également considérés comme des polynômes en a; — a et j — j3 . De sorte que
X = «0 H- a, (a? - - a) -f- «2 (j — 13) -f- . . . , Y = èo -^ 6 , ( or - a ) -f- è 2 (r - |3 ) ^ . . . .
Jount, de Math, (3* série), t. Vil. — Novembre i88i. 4y
386 H. POINCàRÉ.
Premier cas. — a© et èo'ne sont pas nuls à* la fois ; supposons, par
ex<
emplé.
Téquation différentielle peut s'écrire
où /est une série ordonnée suivant les puissances croissantes de X — a et y— ^.
Donc, en vertu du théorème démontré par Cauchy [Comptes rendus, t. XIV), V peut s'exprimer par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de a? — a et se réduisant à |3 pour a? = a.
Donc, par le point (a, P) passe une caractéristique et une seule.
Deuxième cas, -. a© = 6© = o.
Mais a^ aj, b^ et 62 ne sont pas nuls à la fois.
Le point (a, |3) est alors im point singulier ordinaire. (Commençons par rappeler un théorème relatif à ces points singuliers, théorème que j'ai démontré dans ma Thèse inaugurale.
Si V équation
a deux racines différentes, X, et 1^ î
Si le rapport de ces racines est positif ou imaginaire, l'intégrale générale de l'équation
(J.r dy
est de la forme
Sj'5~'^*=z: const.,
où 5, etZi sont des séries ordonnées suivant les puissances cmissantes de X — 0^9 y — ^ et s* annulant pour
Supposons que le point (^, J') se rapproche infiniment du point ( a, |3), de telle façon que
lim *^^ ^ = a;
le coefficient angulaire de la tangente en ce point [x, y) aura pour limite
Donc la limite de la droite qui joint les points (a?, /) et (a, P) et la limite de la tangente à la caractéristique au point {x^ y) forment un faisceau homographique.
Les droites doubles de ce faisceau sont données par l'équation
]x(ai 4- ajjx) = ô, -4- b^^L,
Soient fx, et jul^ les deux racines de cette équation ; on calculera aisément X4 etXj en fonctions rationnelles de a,, a^^b^^b^^ ju.| etfji,.
Maintenant on peut diviser le deuxième cas en quatre cas subordonnés principaux.
Premier cas subordonné, — Les droites doubles du faisceau homographique sont réelles, et deux droites conjuguées quelconques du faisceau sont ou toutes deux dans Tangle aigu formé par les deux droites doubles, ou toutes deux dans l'angle obtus.
Dans ce cas, X, et X2 sont réels et leur rapport est positif; le théorème que nous avons rappelé en commençant est donc applicable, et l'intégrale générale s'écrit
s|*z7^« = const.,
où 2,, z^ sont des fonctions réelles de x et de v s' annulant pour
pendant que X, et X^ sont deux nombres répls positifs.
Il s'ensuit que toutes les caractéristiques vont passer par le point
388 H, POIWCARÉ.
singulier (a, ]3), pourvu qu'elles pénètrent dans une région de la sphère assez voisine de ce point pour que z, et Zj soient convergents. Un pareil point singulier s'appellera un nœud. Soit, par exemple, à étudier les caractéristiques qui satisfont à l'équation
dœ dy
lc~2y dans le voisinage du point
[/equation générale de ces caractéristiques s'écrira
où x^ est une constante. Dans le plan, cette équation représente une série de paraboles ayant même axe et ayant leur sommet à l'origine; sur la sphère, cette même équation représentera les intersections de la sphère avec les cônes, qui ont le centre de la sphère pour sommet et ces paraboles pour base.
Toutes ces intersections passent évidemment par le point
Deuxième cas subordonné, — Les droites doubles du faisceau homographique sont réelles; mais deux droites conjuguées du faisceau sont situées de part et d'autre de ces deux droites doubles.
Dans ce cas, ^ est réel et négatif, et le théorème dont nous avons
parlé n'est plus applicable.
Mais MM. Briot et Bouquet ont fait voir, dans un Mémoire inséré au Journal de l'École Polytechnique, XXXVP Cahier qu'il passe par le point (a, |3) deux caractéristiques et deux seulement.
Un pareil point singulier s'appellera un col.
Soit, par exemple, à étudier dans le voisinage de Torigine des caractéristiques dé6nies par l'équation
dos dy
L'intégrale générale s'écrit
xy = const.
et les seules caractéristiques qui passent par le point
a?=y=o sont les deux grands cercles
Troisième cas subordonné. — Les droites doubles du faisceau houiographique sont imaginaires, et ce faisceau ne se réduit pas à un système de droites en involution.
Dans ce cas, X, et Xa sont deux imaginaires conjuguées et Feur rapport est imaginaire. Le théorème général s'applique et l'intégrale générale s'écrit
jSj»;s~^=r const.,
où «, etz^, X, et Xa sont imaginaires conjuguées. Soit
Z|=^H-i39, X, = Y-|-eî
Z2 = l — iïif Xa = Y — ii.
L'intégrale générale s'écrit alors
{^'-^r,n'{l^y= const.
Les courbes ^^ -h >3* = const, (où Ç et tq sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de a? — a et j— j3, et s'annulant pour X = oL^y = ]3) sont évidemment des cycles qui ne se coupent en aucun point et qui forment dans la région voisine du point (a, j3) un système topographique dont le point (a, j3) est un sommet.
Or, si l'on remarque que les équations
ne donnent pour Ç et >j, et par conséquent pour x eXjr, qu'un seul système de valeurs réelles, ou reconnaîtra que les caractéristiques ne coupent les cycles
qu'en un seul point et que, par conséquent, ces caractéristiques ne sont autre chose que des spirales; un point qui parcourt ces spirales dans un certain sens va en se rapprochant indéfiniment de l'origine.
Un pareil point singulier s'appellera xxtï foyer.
Soit, par exemple, l'équation
dœ dv
X — r X -^ y dont l'intégrale générale est
Si l'on passe aux coordoaiiées polaires, cette intégrale devient
p2 ^-20) ^ const. ,
ce qui nous donne, dans le plan, une spirale logarithmique, et, par conséquent, sur la sphère, une spirale sphérique.
Quatrième cas subordonné . — Les droites doubles du faisceau homographique sont imaginaires et ce faisceau se réduit à un système de droites en involution.
Dans ce cas, X, et X2 sont imaginaires conjuguées, mais leur rapport est égal à — I . Le théorème que nous avons rappelé au début n'est donc pas applicable en général.
Ce quatrième ca« est plus particulier que les précédenis et il ne se présentera pas si X et Y sont les polynômes les plus généraux de leur degré. Bornons-nous donc à quelques remarques.
D'abord, il est impossible qu'une branche de caractéristi(|ue vienne passer par le point a, p, puisque sa tangente devrait être précisément l'une des droites doubles de l'involution qui sont imaginaires.
COURBES DÉFINIES PAR CNK ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. Spl
Mais, d'après ce qu'on verra plus loin, toute caractéristique est uft cycle ou une spirale; donc, ou bien les caractéristiques seront des spirales, et un point qui les parcourrait tournerait autour du point (a, ^ ) en s'en rapprochant indéfiniment : le point (a, |3) serait alors encore xkxi foyer; ou bien les caractéristiques forment un système topographique dont ( a, /3) est un sommet, et alors le point (a, /3) est un centre.
C'est ce qui arrive qu md le théorème que nous énoncions au début
est applicable, malgré la valeur négativede—- En effet, dans ce cas, l'intégrale s'écrit
Z| ^2 = A, où
c'est-à-dire
et les caractéristiques forment évidemment, dans ce cas, un système
topographique de cycles.
Par exemple, l'équation
dx dy
y — ^ a pour intégrale générale
Cas particuliers laissés de côté. — Dans ce qui précède, on a laissé de côté les cas particuliers où
cas qui ne se présenteront pas si X et Y sont les polynômes les plus généraux de leur degré.
Or, pour que
il faut et il suffit que
(a, 4- b^y —fb^ aa -Ha, 62 = o.
Dans ce cas, MM. Briot et Bouquet ont fait voir qu'une infinité de
caractéristiques passent par le point (a, p), c'est-à-dire qu'on a encore affaire à un nœud.
lues cinq cas précédents comprennent tous les points singuliers a, j3, tels que les deux courbes
s'y coupent en un seul point et non en plusieurs points confondus. Ces points singuliers s'appelleront />om/^ singuliers de première espèce^ et l'on a vu qu'il y avait quatre sortes de pareils points : les nœuds, les cols, les foyers et les centres.
Reste à examiner les cas où
>, =0 et ceux où
ou
Ces cas se présentent quand les courbes X = Y = o se coupent en plusieurs points confondus au point (a, j3).
En effet, dire que
a^ = aj = o,
c'est dire que X = offre un point multiple en (a, j3).
Dire que
c'est dire que Y = o offre un point multiple en (a, |3).
Dire que
c'est dire que
c'est-à-dire que les courbes X = o, Y = o sont tangentes au poini ( a, j3). De pareils points singuliers s'appelleront /wi/i/5 singuliers de seconde espèce^ et il est évident, d'après ce qui précède, qu'ils pourront toujours être considérés comme la limite d'un système de plusieurs points singuliers de première espèce confondus ensemble.
Les particularités que peuvent présenter de pareils points sont trop nombreuses et trop diverses pour que nous les étudiions en détail. Remarquons que de pareils points ne peuvent exister si X et Y sont les polynômes les plus généraux de leur degré.
Points situés sur Véquateur, — Dans ce qui précède, on a supposé implicitement que a et ^ restent finis, c'est-à-dire que le point [ol. p) n'est pas sur Téquateur.
Mais le cas où a, /3 est sur Téquateur peut se ramener aisément aux cas déjà étudiés.
Considérons d'abord un point de Téquateur non situé sur le grand cercle
^ = o, nous poserons
Si l'on considère ensuite z eX. t comme les coordonnées d'un point dans un plan, ce point ne sera autre chose que la projection gnomonique du point [oc^y) de la sphère sur un plan parallèle au plan du grand cercle
Pour le point (a, ]3) de la sphère, ces coordonnées z ei t seront finies, c'est-à-dire qu'on sera ramené aux cas étudiés dans le commencement de ce Chapitre.
Si l'on voulait étudier les caractéristiques dans le voisinage de l'intersection de l'équateur el du grand cercle
a? = o, on poserait
et l'on raisonnerait de la même manière.
Journ. de Math, (3* série), tome VII. — DAgembbk 1881. ^O
394 H. POINCARE
