DISTRIBUTION DES POINTS SINGULIERS

Théorème IL — Tout système de caractéristiques admet des points singuliers.

Première hypothèse. — Les courbes

se coupent en des points non situés sur Téquateur.

Dans ce cas, ces points d'intersection sont évidemment des points singuliers.

Deuxième hypothèse. — Les courbes

se coupent en un point situé sur Téquateur.

' Supposons que ce point ne soit pas sur le grand cercle

nous poserons

et, si m est le degré de celui des deux polynômes X et Y dont le degré est le plus élevé, nous poserons

L'équation différentielle devient alors

dz __ dt — zX| ^ Y, — fX,

pour / = a, -ï = o; on a, par hypothèse,

COURBES DÉFINIES PAR VUE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. ic^S

et par conséquent

zX| = o, Y, — /X| — o,

c'est-à-dire que le point

est un point singulier de l'équation proposée.

Troisième hypothèse. — Les courbes X =^ o, Y =:; o ne se coupent en aucun point Le degré de X est plus grand que celui de Y. Dans ce cas, Tun au moins des deux polynômes X et Y est de degré pair. De plus Y, est divisible par z, de sorte que

Or il est clair que pour

z =: t = o on a

sX, = jzYj— /X, = o,

et que par conséquent le point

z = t = o est un point singulier.

Quatrième hypothèse. — Les courbes X = o, Y = o ne se coupent

en aucun point. Le degré de X est inférieur à celui de Y. Dans ce cas

on poserait

et, eu raisonnant comme dans le cas précédent, on ferait voir que

z = < = o est un point singulier.

Cinquième hypothèse. — Les courbes X = o, Y = o ne se coupent en aucun point. Le degré de X et de Y est le même.

Si, de plus, Xa et Yj sont les termes du degré le plus élevé de X et Y, on n'a pas identiquement

o-Yj — /Xj = o.

Sgô H. poiircARÉ.

Dans ce cas, le degré de X et de Y étant m, et nécessairement pair, la fonction xX.^ — jX^ est homogène en x et y et de degré m -h i , et par conséquent de degré impair.

Elle s'annule donc, soit pour x = o, soit pour une certaine valeur

finie de -•

pour

Si elle s'annule pour une certaine valeur a de -> on aura à la fois

r=:a, JZ = o,

2X, = Y^-;X, = o quand on aura posé

c'est-à-dire que le point

sera un point singulier.

Si la fonction JcY^ — yX^ s'annule pour a* — o, on posera

et Ton verra, comme précédemment, que le point

t z= z = o est un point singulier.

Sixième hypothèse. — I^s courbes X et Y ne se coupent en aucun point. Le degré de X est le même que celui de Y si, de plus, Xa et Y, sont les termes du degré le plus élevé de X et de Y; on a identiquement

or Ya — 7X2 = 0.

Cette hypothèse est inadmissible.

En effet, si Ton a identiquement

Xj est divisible par x et égal à ^rX,, Y^ oM divisible par y ot égal

à ^ Y, , de sorte que Ton a identiquement ou

Maintenant Y, = Xg est une fonction homogène de degré impair en X et en j; donc elle s'annule soit pour x = o, soit pour une certaine valeur réelle a de - •

Donc, soit pour x = o, soil pour - = a, on aurait forcément

X2 =r Yq =^ o,

c'est-à-dire que les courbés X = o, Y = o se couperaient en un point de i'équateur, ce qui est contraire à l'hypothèse

En résumé, des six hypothèses que l'on peut faii'e, la sixième est inadmissible; si l'une des cinq autres est réalisée, l'équation différent tielle admet des points singuliers, soit sur I'équateur, soit hors de I'équateur.

Cas général, — On peut, sans nuire à la généralité, supposer : i" Que les polynômes X et Y sont de même degré; 3** Que si Xa et Yj sont les termes du degré le plus élevé de X et de Y, on n'a pas identiquement

o^Ya— yX2= o;

3** Que les courbes X = Y = o ne se coupent nulle part en plusieurs points confondus et ne se coupent pas sur I'équateur; 4** Que l'équation

jcYa— yXa— o

n'ait pas de racines multiples.

Dans ce cas, I'équateur est toujours une caractéristique, et tous les points singuliers sont de première espèce. De plus on peut, sans nuire à la généralité, supposer que tous les points singuliers sont des noeuds^ des cols et des foyers.

Le nombre des points singuliers est évidemment pair, puisque tout est symétrique par rapport au centre de la sphère.

I^ nombre minimum des points singuliers est donc égal à 2 , et ce cas peut se présenter de deux manières :

i^ Les courbes

ne se coupent en aucun point; mais l'équation homogène

admet une sohition réelle et une seule.

On a alors sur Téquateur deux points singuliers diamétralement opposés. Je dis que ces points singuliers sont toujours des nœuds. Pour le démontrer, il faut étudier les propriétés générales des points singuliers situés sur Téquateur.

Supposons que pour

f — a, 5 = on ait

sX, == Y, — fX, = o et

Posons

^ = w-f- a, et soit

X, = z?, -f- Xo -h X, a -h X2 a* -h . . . -h X;n u"\

Y| = 5Y3, -H fXç-f- fz, w -f- /Xj a^ -t- . . . -h /iL,«a'",

où I, et >j| sont des polynômes entiers en z et en a, et où les X et les jjl sont des constantes. Il vient, en posant

-ri2u\

-HZ?,

-hX, «,