I-3VÎ
+ fx.
-l-fx,«;
d'où Ton tire
Y, — /X, = 2Ç, H- a^?2 -t- {[Xo — X^a) -h (fj., — X, a — Xo)m,
COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFEBENTIELLE. SqC)
OÙ II et §2 sont des polynômes entiers en z et u. L'équation différentielle s'écrit alors, en remarquant que l'on doit avoir fx© = X©»,
dz du
où 5, et 62 sont des polynômes en z et w.
T^s racines de Téqiiation (5) sont alors
— Xo et fji| — X,a — Xo.
Ces deux racines sont réelles.
Donc tout point singulier situé sur Véquateur est un nœud ou un col. (C'est ce qu'on devait prévoir, l'équateur étant une caractéristique.)
Pour qu'il soit un nœud, il faut et il suffit que
Or le premier membre de cette inégalité est précisément la valeur que prend pour
l'expression
Nous n'en changerons pas le signe en écrivant
c'est-à-dire que le point singulier
sera un col si, quand - passe de a -- g à a -h- s, l'expression vî """ ~ passe du négatif au positif, et qu'il sera un nœud si, quand - passe de a — g à a -+ fi, l'expression 57^ — - passe du^egati^^gositify
400 H. POINCA.RÉ.
Cela posé, nous allons introduire une considération nouvelle qui nous rendra les plus grands services. Soit un cycle situé tout entier dans un hémisphère. Ce cycle divise la sphère en deux régions, dont Tune, située to»it entière dans l'un des hémisphères, s'appellera V intérieur du cycle.
Si le cycle est tout entier dans le premier hémisphère, nous dirons qu*un point mobile décrit le cycle dans le sens positif s'il a constamment l'intérieur du cycle à sa gauche; si, au contraire, le cycle était dans le second hémisphère, un point décrirait le cycle dans le sens positif s'il en avait constamment l'intérieur à sa droite.
Supposons qu'un point mobile décrive le cycle daijs le sens positif
Y et considérons les variations de l'expression ^ • Soit h le nombre de
fois que cette expression saute de — qo à -h oc ; soit k le nombre de fois que cette expression saute de -4- qo à — oo . Soit
le nombre i s'appellera V indice du cycle.
Si l'on joint deux points A et C d'un cycle ABCDA par un arc AMC
Fig. a.
situé tout entier à l'intérieur du cycle, le cycle ABCDA se trouve décomposé en deux cycles ABCMA, AMCDA, et l'on a évidemment
ind. ABCDA = ind. ABCMA -+- ind. AMCDA,
de sorte qu'on peut ramener le calcul de l'indice d'un cycle quelconque au calcul de l'indice des différents cycles infiniment petits qui le composent.
COURBES DEFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELEE. 4^1
Théorème III. — Un cycle infiniment petit qui ne contient à son intérieur aucun point singulier a pour indice o.
En effet, si ce cycle n'est pas coupé par ia courbe X = o,
A = o, Ar = o, «= = o.
Si le cycle est coupé par la courbe X = o, il n*est pas coupé par la courbe Y= o; Y est toujours de même signe et X passe une fois du positif au négatif, une fois du négatif au positif; d'où
De même, si la courbe X = o présentait à l'intérieur du cycle un point multiple d'ordre m, on aurait
Théorkme IV. — Si un cycle infiniment petit contient à son intérieur un point singulier^ son indice est égal à ±i.
Il est égal à -h I si le point singulier est un col ; à — i si le point singulier est un nœud ou un foyer.
En effet, posons
y — |3 = psino), X — OL =z jocosco,
et supposons que l'on considère le cycle
• Cr-p)»-H(x-«)'=p--.
p étant une constante infiniment petite.
Pour décrire ce cycle dans le sens positif, il faut faire varier tù depuis o jusqu'à 2 71.
Or on a, en négligeant les infiniment petits et reprenant les nota-
Journ, de Bîath. (3* férié), tome VU. ^ Décembre i88i. ^ I
/|02 H. POINGARÉ.
tions du Chapitre précédent,
Y bx-h b^ tanjro)
X «1 -h a^ tangtu
X s^nniiule deux fois, car, quand « varie depuis o jusqu'à in,
a, -f-a.j tangw
s'annule deux fois pour deux valeurs de (ù que nous appellerons &)<, et coo H- TT. Pour w = Wo — £, où £ est infiniment petit, on a
tang/^\^angw„ — r,
où Ç est positif et infiniment petit. On a donc
Y bx 4- />2tangcoo— ^g^ \ a, -h «2 tang too ~ «j ;
Remarquons que langc«)o= — — ; il viendra, en négligeant b^Ç de-
vaut b^ -h ôotang',)^^,
Y ci\b^ — ûtj ôj I
Y Donc, si «1 bo—Uibt < o, ^ pour w = w^j et pour m = w,, -+- tt saute
de — 00 à -H 00 , on a
n=^1^ Al = o, 1= ; ^=L\,
Si, au contraire, a, 6^ — ûgi, > o, -r^ pour o = w^ et pour o> = «^,4- r:
saute de -h 00 à — oc , on a
Maintenant, quelle est la condition pour que
COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFERENTIELLE. 'lO î
Reprenons Téquation (5) qui s'écrit
Il est évident qu'on iuira
a, 6^ — a^bi > o,
si les deux racines de l'équation sont imaginaires ou de même signe, c'est-à-dire si le point singulier est un nœud ou un foyer. On aura au contraire
si les deux racines sont réelles et de signe contraire, c'est-à-dire si le point singulier est un col.
Le théorème est donc démontré.
Problème 1. — Calculer l'indice d'un cycle situé tout entier dans l'un des hémisphères.
Soient N le nombre des nœuds, F le nombre des fojers, C le nombre des cols contenus à l'intérieur du cycle.
Si Ton décompose le cycle donné en une infinité de cycles infiniment petits y,
Un nombre infini des cycles y auront pour indice o;
N -f- F des cycles y » — i ;
c des cycles y ' » -\- \ ,
L'indice du cycle donné sera donc
«(N-hF-C).
Problem K IL — Calculer l'indice de l'équateur.
Soient aN' le nombre des nœuds, 2C' le nombre des cols situés sur l'équateur.
Soit t='- = tango.
4o4 H. POINCARK.
TC
Faisons varier w depuis jusqu'à -h -> c'esl-à-dire langot) depuis
— 00 jusqu'à -f- 00 . Tout étant symétrique par rapport au centre de
Y Y la sphère, y = 37^ prend pour w -h t: la même valeur que pour w ; quand
on ferait varier (0 depuis -h - jusqu'à H > ^ repasserait par les mêmes
valeurs que quand w variait de à -h -.•
Donc, w variant de — - à -h -> tf sautera - fois de — x> à -h 00 , et ' 22X2 ^
fr
- fois de -f- 00 à — 00 .
Ceci posé, si Ton considère l'expression pour « ï= > on a
H = + oo;
pour w = H- -> on a
Soient X le nombre de fois que H passe du négatif au positif, fi le nombre de fois que H passe du positif au négatif, on aura évidemment
fx — X = I.
Or H peut passer du négatif au positif, soit par o, ce qui correspond
à un col, soit par 00 , ce flui correspond à l'une des - valeurs de oj ,
y pour lesquelles ^ saute de — 00 à -h 00 .
On a donc
De même d'où d^où
COURBES DEFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. ^O'j
Scolie — Si le nombre des nœuds situés hors de Téquateur est 2N, celui des foyers situés hors de Téquateur 2 F, celui des cols situés hors de Féquateur aC, celui des nœuds situés Sur Téquateur 2N', celui des cols situés sur Téqualeur aK', on a la relation
En effet, pour obtenir ce résultat, il suffit d'égaler les deux valeurs de l'indice de l'équateur obtenues dans les deux problèmes précédents.
Corollaire /. — Le nombre lotal des nœuds et des foyers est égal au nombre total des cols plus 2.
Corollaire IL — Le nombre total des points singuliers est un multiple de 4 plus 2.
Corollaire III. — Si le nombre des points singuliers se réduit à 2, ces points sont des nœuds et des foyers; ils sont toujours des nœuds s'ils sont sur l'équateur.
La courbe X = o et la courbe Y = o se composent d'un certain nombre de cycles. Considérons deux quelconques de ces cycles : ils se couperont en un nombre pair de points.
Soient a©» ^i» • • •> ^2/1 ^^s 2m points d'intersection de ces deux cycles rangés d'après l'ordre où on les rencontre en parcourant l'un des deux cycles, le cycle X = o, par exemple, dans le sens positif.
Théoriîme V. — Supposons que deux points consécutifs ot^ et a^,, soient situés dans le même hémisphère; je dis que si a^ est un nœud ou un foyer ^ Uk^^ est un col^ ou réciproquement.
Pour cela il suffit de faire voir que tout cycle qui enveloppe «a et a^ - 1 a pour indice o.
En effet, soit [fîg, 3) AB l'arc du cycle X = o, sur lequel se trouvent les points «a et «a+i ? soient CD et EF les arcs du cycle Y = o qui viennent couper AB respectivement en a* et «a+i .
Il est évident que, pour le cycle ADFBECA,
io6 H. POINCARÉ.
Supposons, au contraire, que les points a^t ^^ ol^^ i soient dans rleux liémisphères différents.
FIg. 3.
Je dis que si «a est un col, a^^^ est un col, et que si «/^ est un nœud ou un foyer, «a-h est un nœud ou un foyer.
En effet, supposons que AB vienne couper Féquateur MN en H {fig. \ ).
Considérons le cycle ACHFBEHDA. Ce cycle est parcouru dans les deux hémisphères dans le sens positif.
Supposons qu'en franchissant le point A, ^ saute de — qo à -v oc ;
il en sera de même quand on franchira le point H ou le point B, c'està-dire que, si
ind. ACHD = i , ind. ACHFBEHDA ^ 2.
De même, si
ind. ACHD = - i , ind. ACHFBEHDA = - 2,
c'est-à-dire que, dans tous les cas,
ind. ACIIDA ^- ind. HFBEH. c. o. f d.
Deuxième cas. — Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que Xj et Y.2 étaient de même degré, sans que
.rYa — yXj soit identiquement nul.
Nou$ n'avons pas examiné. ce qui se passerait si nous avions identiquement
A un certain point de vue, le cas que nous avons érudié est plus général que celui que nous avons laissé de côté.
A un autre point de vue, c'est le contraire; car deux polynômes X et Y quelconques peuvent être considérés comme des cas particuliers des polynômes
