OLrr

rr^

les a, a/, ol^j^ étant de simples coefficients constants. Au cas où il semblerait que la généralité du premier membre serait augmentée en y faisant figurer X;^^/ en même temps que X/X;^ la relation (2) montrerait qu'il n'en est rien, Tun de ces produits ne différant de l'autre que par des termes du premier ordre. Cette remarque porte immédiatement à se demander si Ton ne pourrait pas encore simplifier le premier membre de (3) en utilisant la relation (2). Nous verrons qu'il y a précisément des choses importantes à faire en ce sens, mais je préfère montrer tout de suite quelles sont les propriétés de l'équation (3) qui sont indépendantes de tout arrangement des opérateurs. Au groupe simplement transitif (i) correspond un groupe simplement transitif de même nature, ces deux groupes sont dits réciproques. Leurs transformations sont permutables et leurs opérateurs X^ , Xa, ..., X;. et Y|, Ya, . . M ^r vérifient par suite les relations X/Y;t = Y^^X,- ou, en abrégé, (X^Y^^) = o. (S. Lie, Théorie der Transformationsgruppeny t. I, p. 38o.) Ces deux groupes sont semblables, c'est-à-dire que l'on peut passer de l'un à l'autre par un changement de variables. Je rappelle, en renvoyant toujours à l'Ouvrage de Lie pour les démonstrations, que, le groupe (i) étant donné par ses opérateurs X, on détermine le groupe réciproque en cherchant d'abord toutes les intégrales distinctes du système complet :

2 5/*(^0 ^2, • . ., ^r)-^ -H 2 ^iki^'n ^'2^ • • •» O^ = ^»

JourA. de Math. (5* série), lomc X. — Fasc. I, 1904. l3

9^ A. BUHL.

Ce système comprenant r équations à 2r variables admet 2r — r, c'est-à-dire r intégrales distinctes. (E. Goursat, Leçons sur Vintégration des équations aux dérwées partielles du premier ordre^ p. Sa. — S. Lie, loc. cit,^ p. 88.) En égalant ces intégrales qui sont des fonctions de x^^ x^^ . . .^ Xr\ x\y x^^ . , .^ x^. k r constantes C<, Ca, . . ., Q, on a r relations entre les x et les x' qui définissent les transformations finies du groupe réciproque cherché. On passe ensuite à ses transformations infinitésimales Y,, Yo, . . ., Yr au moyen d'une des méthodes élémentaires bien connues. (S. Lie, loc. cit.^ p. 77.)

Le fait que les opérateurs Y sont permutables à tous les opérateurs X entraîne qu'ils sont permutables à l'opérateur défini par tout le premier membre de l'équation (3) et, par suite, ils changent les solutions de cette équation en d'autres solutions.

Il en est évidemment de même de leurs combinaisons linéaires telles que E == <?|Y, -h e^^--\-, . .-h e^^^ les e étant des constantes, et de toutes les sommes de produits symboliques de telles combinaisons. En particulier, la série symbolique

e«=/+-iE(/) + ijE-^ (/) + ...

est une solution de l'équation (3) si la fonction f en est une. Or cette série représente la fonction f sur laquelle on a effectué les transformations finies du groupe défini par les r opérateurs Y. (S. Lie, loc. cit. y p. 76, et H. PoiNCARÉ, Cambridge philosophical Transactions^ Vol. XVIII, dédié à Sir G. Stokes, p. 220. Voir aussi Rendiconti del Circolo matematico di Palermo^ t. XV, 1901, p. 323). Donc les transformations de notre groupe réciproque changent une solution de l'équation (3) en une autre contenant les r constantes arbitraires C. Si l'on multiplie cette dernière solution par une fonction arbitraire des C, puis par les éléments différentiels ûfC^, rfCj, . . ., dCr et si l'on forme l'intégrale multiple correspondante prise entre des limites constantes mais arbitraires, nous nous élèverons à des solutions dépendant de fonctions arbitraires.

Tout ceci est trop intimement lié aux méthodes de Lie pour que je m'y arrête davantage; je tiens seulement à faire remarquer que le raisonnement précédent est calqué mot pour mot sur celui fait au

Chapitre précédent à propos des équations à coefficients constants au sens ordinaire de l'expression. Nous avions alors les opérateurs

j—9 -T—^ •••> -j — d'un groupe de translations qui coïncidait avec son

groupe réciproque.

En résumé, ce qui précède peut être considéré comme une généralisation des méthodes de Gauchy.

6. Analogies ai^ec les véritables équations à coefficients constants. — Puisque les équations à coefficients constants admettent toutes des solutions du type

que les opérateurs constituant le premier membre transforment en

il est naturel de se demander tout d'abord si des équations aux opérateurs X,, Xa, ..., X;. bien déterminés n'admettraient pas, indépendamment de la forme du premier membre, un type général de solutions S, tel que

Si de telles relations pouvaient avoir lieu, elles permettraient évidemment d'achever de déterminer la fonction S au moyen d'une équation algébrique, tout comme pour les équations à coefficients constants. En posant logS = U, les équations (5) peuvent s'écrire

(6) X,(U) = a„ X,(U) = a„ ..., X,(U)33«, et, si elles admettent une solution U, le système

di dt

lOO A. BUHL.

doit admettre aussi une solution qui est U — /. Ces dernières equations forment un système de r équations à r-i- i variables, première constatation compatible avec l'existence d'une solution mais seulement d'une. On a ensuite

si bien que, si^l'on a

(7) ^Cu,s^s = 0,

les (T/T;t) sont à considérer comme exprimables en fonction linéaire des T et l'existence d'une solution est définitivement assurée. Reste à savoir comment on peut sf^tisfaire au système (7). En général, il semble devoir contenir plus d'équations que d'inconnues sauf pour r = 2 et r = 3, cas qui sont les plus intéressants. Mais, à supposer ces équations compatibles, elles pourront laisser certains a,, par exemple a^, a^, . . ., indéterminés si tous les C/^vrj Cf^^, . . . sont nuls. Cela arrive quand le groupe X|, X2, . . ., X;. contient un ou plusieurs sous-groupes invariants. En écartant tout d'abord celte hypothèse, il résulte de l'homogénéité des équations (7) qu'elles ne peuvent donner pour les a, que des valeurs de la forme A, a, h^OL^ . . ., h^oL^ a étant une constante indéterminée et la seule qui puisse l'être, et les h étant des coefficients numériques invariables. En d'autres termes, les équations (6) peuvent s'écrire

— étant une fonction qui ne peut absolument contenir que les variables X.

Prenons maintenant le cas d'un sous-groupe invariant. Pour fixer les idées, supposons que l'ensemble des opérateurs Xa, . . , X^ constitue un sous-greupe invariant dans le groupe X,, Xa, . . ., X^.. Cela

ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. lOI

signifie que

pour /ir = 2, 3, . . ., /•, et que Xa, X3, . . ., X;. définissent, à eux seuls, un groupe à r — i paramètres qui est le sous-groupe invariant en question. Donc tous les c/;ti sont nuls et, par suite, a^ est une constante indéterminée. La solution U du système (6) dépendra donc de deux constantes arbitraires. On établirait de même que, si le sous-groupe invariant est X^y X,„^.,, . . ., X;., la solution U dépend de m constantes arbitraires; Tune de ces constantes peut être simplement multiplicative.

Pour en revenir au problème général, nous supposerons donc que Ton a déterminé une solution U du système (6) contenant au moins une constante arbitraire multiplicative, d'où une solution S = ^" du système (5). Cette solution S substituée dans l'équation (3) nous conduira à une équation algébrique liant les constantes a,, aa, . . ., a^. Si ces dernières se réduisent à une seule, le fait de Tassujctlir à vérifier l'équation entraînera que la solution S ne contiendra plus rien d'arbitraire du tout.

Nous allons voir maintenant comment S, quel que soit le nombre de constantes arbitraires que renferme cette solution, est généralisée par les transformations du groupe Y réciproque de X. Si U est une fonction satisfaisant au système (6), U — U' satisfait au système complet (4), U' désignant une fonction absolument identique à U où les x sont remplacés par les x\ En d'autres termes U — U' est une intégrale de (4) et, par suite, ne peut être autre chose qu'une fonction de r intégrales distinctes telles que celles considérées plus haut et égalées respectivement à des constantes G,, C., . . ., C^. Donc

et, par suite, la solution S = e" de l'équation (3) est changée, par les transformations finies du groupe Y, en

(9) ^t' + FIC.C C.)

L'analogie de ce résultat avec celui trouvé pour les équations à coefficients constants du Chapitre précédent est évidente, mais il est

I02 A. BUHL.

essentiel de remarquer qu'elle ne se poursuit pas forcément jusque dans son utilisation. Dans le premier cas, nous avons eu :

ce qui nous a conduits à la formule de Fourier et aux résultats habituels qui en découlent et dont l'utilité est incontestable. Dans le second, rien ne nous permet d'affirmer que la fonction

F(C|, Ca, . . ., G;.)

ne va pas se scinder en une somme de plusieurs termes dont certains seront complètement indépendants des a, et à ces termes correspondraient, dans la solution (9), des fonctions des C simplement multiplicatives. Ainsi, dans le cas où le groupe X ne contient aucun sousgroupe invariant et où le système (6) ne peut admettre qu'une solution de la forme U = aV(;r4, x^, . . ., x^), d'où, pour l'équation (3), une solution e*^ où a cesse d'être arbitraire comme devant satisfaire à une équation algébrique, la solution (9) ne contient d'autres constantes arbitraires que les C et celles-ci y forment un simple facteur tel que si l'on multiplie par rfC,, ûfCj, . . . , dCr et intègre, tout revient à multiplier e^ par un facteur constant. Dans ce cas, la solution obtenue est à considérer comme inutile puisqu'elle ne contient rien d'arbitraire et que les méthodes précédentes ne peuvent la généraliser. Nous rencontrerons pareille singularité dans l'étude de l'équation d'Euler et Poisson, exemple qui d'ailleurs éclaircira ce qui précède.

7. Ces analogies plus ou moins nettes avec les équations à coefficients constants deviennent particulièrement remarquables dans le cas où toutes les constantes C/jt, qui définissent la structure du groupe X sont nulles. Alors toutes les constantes a sont arbitraires et il existe un changement de variables ramenant l'équation (3) à une équation aux dérivées partielles à coefficients constants. Cela résulte du fait que les opérateurs X sont permutables et qu'on peut, en ce cas, les

ramener aux opérateurs -r— > -r— > •••> -z—' (S. Lie, Théorie der

ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. I o3

Transformationsgrupperiy t. I, p. 339.) Les formules de transformation s'obtiennent en égalant à des constantes arbitraires les r intégrales distinctes du système complet

(10) X,(/) + |^ = o, (Âr = i,2,...,r).

J'ai donné une application géométrique assez intéressante de ces considérations dans le Bulletin de la Société mathématique de France^ (t. XXXI, 1903, p. 47)- Il s'agissait de la détermination des surfaces dont un système d'asymptotiques se projette sur le plan^Oo; suivant la famille de courbes définie par l'équation différentielle

dx dy

Le problème conduit à l'équation

A'^ + -AB^-^B»|( = o ou X'(/)-Y(/) = o,

si l'on pose

XC/) = A^f4-B|, Y(/) = X(A)^^ + X(B)|.

En écrivant que ces deux opérateurs sont permutables, on trouve les conditions :

Il faut donc que A et B soient des solutions de l'équation proposée pour qu'on puisse la ramener à la forme

On peut prendre, en particulier,

Pi. — a-\-cX'\- dy^ B = 6 -f- ^o? 4- ^y, ay c, d^ h^ e^ g étant des constantes. Donc toutes les familles de courbes

I04 A* BUHL.

définies par des équations de la forme

dy h -¥ ex -\- g y

dx a-\- ex -h gy

peuvent être prises pour projections d'un système d'asymptotiques de certaines surfaces dont la connaissance dépend de l'intégration de Téquation (ii) bien connue dans la Théorie de la chaleur. M. L. Bianchi avait déjà fait connaître un cas particulier de ces considérations en montrant que la détermination des surfaces dont un système d'asymptotiques est situé sur des . cylindres de révolution de même axe, se ramène à l'intégration de l'équation (i i) (*). On voit que l'on peut remplacer les cylindres de M. Bianchi par tous ceux dont les sections droites rentrent dans les familles de courbes définies par l'équation difierenticlle précédente. Pour plus de détails, notamment au point de vue géométrique, je renvoie à ma Note précitée.

8. Réduction à la forme régulière d^une équation aux opérateurs X. — Ainsi qu'on l'a déjà remarqué au début du Chapitre, on peut se demander si, au moyen des relations fondamentales (2), on ne pourrait pas ramener l'équation (3) à une forme plus simple. La chose est non seulement possible, mais très aisée en s'appuyant sur le Calcul des polynômes symboliques exposé par M. H. Poincaré dans son Mémoire Sur les groupes continus (^Cambridge philosophical Transactions^ t. XVIII, dédié à sir G. Stokes à l'occasion de son jubilé, 1900). M. Poincaré dit que des polynômes formés d'opérateurs tels que X sont équivalents quand on peut les ramener l'un à l'autre au moyen des relations (2) et qu'ils sont i^éguliers quand ce sont des sommes de puissances de combinaisons linéaires telles que

il démontre ensuite qu'un polynôme quelconque est toujours équivalent à un polynôme régulier.

(*) E. G0UR8AT, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées par^ tieltes du second ordre, l. I, p. 170.

ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Io5

Dans le cas particulier qui nous occupe, cette conclusion est à peu près évidente; le polynôme symbolique que forme le premier membre de l'équation (3) peut se ramener à une somme de carrés symboliques et la régularisation peut encore s'éclaircir à l'aide d'une interprétation géométrique. On remarquera l'analogie avec la réduction à des sommes de carrés des formes quadratiques algébriques.

Dans l'espace général à r dimensions, prenons r axes rectangulaires d'origine O et r points dans ce même espace,

les F désignent ces points, les parenthèses qui suivent contiennent les coordonnées de chacun.

Considérons tous les vecteurs OP; et désignons leurs longueurs respectives par p/. Nous avons, en désignant par la notation {ik) l'angle P.OP»,

p/p* cos(iAr) = p,-, p*, -\- Pf2 pA, -H. . . + ,8frP*^. Avec ces notations, on peut écrire aisément l'identité

/ [p*X*H- 2p,pjCos(i2)X,Xj + . . .-I- 2p,p;.cos(ir)X,Xr

■+- p*X' +. . .-f- 2pjp;.cos(2r)X,X^

(i3) ( =2(PuX,H-p,,X, + ..,H-p„X,)»

•+-[PiP2Cos(i2)(X,X2)4-piP5Cos(i3)(X,X5)+...4-p,p;.cos(ir)(X,X,)

-h pap3COs(23)(X2X3) -^. . .+ p2prC0S(2r)(X2X,.)

' H- pr-ipr(X^.,X^)].

Le second membre de cette égalité se compose de la somme de

Journ. de Math. (5* série), tome X. — Fasc. I, 1904. ^4

lo6 ^ A. BUHL.

carrés symboliques raise en évidence et d'un crochet qui est tout entier du premier degré d'après les relations (2). Quant au polynôme triangulaire du premier membre, ses coefficients sont quelconques; on peut, par suite, Tidentifier avec le polynôme de même nature qui figure dans le premier membre de (3). Il est ainsi démontré que le premier membre de l'équation (3) peut se ramener à une somme de carrés symboliques suivie d'une forme linéaire des opérateurs X. Considérons les relations d'identification

«/!= ph (^ik=pipkCOs(ik).

Si nous exprimons les seconds membres en fonction des P/jt, il y a évidemment surabondance de ces derniers éléments qui sont au nombre

de r^ alors que les a/;t ne sont qu'au nombre de ^^ — -» Il est facile

de faire disparaître cette surabondance, ce qui d'ailleurs simplifie encore les choses. Les coefficients p? et p/p^cos(f7ir) restent évidemment les mêmes si l'ensemble de tous les vecteurs OP est considéré comme un système invariable pouvant tourner autour du seul point fixe O. Amenons donc le vecteur OP, sur l'axe Oor,, puis, par rotation autour de cet axe, le vecteur OP2 dans le plan Orci^a, puis, par rotation dans Tespace à quatre dimensions, le vecteur OP, dans l'espace OxiX^x^ et ainsi de suite. Il n'y aura plus finalement dans l'espace à r dimensions que le dernier vecteur OP;. et les points P auront alors des coordonnées plus simples que précédemment et que donne le Tableau ci-dessous :

(Pm,

Les p,^ sont alors en même nombre que les a^^t ^^ la généralité n'est évidemment diminuée en rien. Nous avons donc le résultat suivant : Toute équation linéaire du second oindre aux opérateurs X, , Xj, . . . , Xr d^un groupe continu simplement transitif peut être ramenée à

la forme

En empruntant la terminologie de M. Poincaré, je dirai que cette équation est régularisée, par rapport aux opérateurs X, suivant les vecteurs OP.

9. Équations régularisables dans V espace à moins de r dimensions. — L'équation régulière précédente contient r carrés symboliques, mais il peut arriver, pour certaines formes des coefficients de l'équation aux dérivées partielles qu'elle représente, qu'elle en contienne moins. Géométriquement on pourra toujours interpréter cela en ramenant les r points P dans un espace à moins de r dimensions.

A ce point de vue, la plus simple de toutes les équations est celle qui se régularise dans l'espace à une dimension. Tous les vecteurs OP sont alors confondus suivant une seule et même droite et il n'y a plus dans le premier membre de l'équation (i5) que le premier carré symbolique. Telle est, par exemple, l'équation à deux variables X* — Y= o rencontrée plus haut et qui déterminait une surface par la projection d'un système d'asymptotiques. En se reportant aux expressions (i) des opérateurs X, on voit facilement que, dans toute équation régularisable suivant une seule et même droite, les coefficients des dérivées partielles

^ ^ dx}^ dxidxk dx\

sont respectivement de la forme

A?., 2A,.,.Aa*, k\^,

les A étant des formes linéaires à coefficients constants des \.

Après ces équations viennent celles qui sont régularisables dans un plan. Dans le Tableau (i4)j l^s deux premières colonnes de p sont les seules qui ne soient pas nulles et le premier membre de (i5) se réduit à la somme des deux premiers carrés. Dans les équations de cette

I08 A. BUHL.

nature, les dérivées partielles (i6) sont respectivement

Plus généralement, soit une équation régularisable dans l'espace à m dimensions {m<ir). Les coefficients des dérivées partielles (i6) sont respectivement de la forme

A J/ 4- Ag,. 4- ... -h A^,.,

^\k~^ ^2k'^' ""^ ^mkf

en posant

Pour m = r, on retrouve le cas général.

10. Équations régularisables suivant des vecteurs orthogonaux. — Si tous les vecteurs OP sont orthogonaux, on peut les considérer comme confondus avec les axes des coordonnées; il n'y a plus que les ^ik de la diagonale du Tableau (i4) qui ne sont pas nuls et l'équation (i5) prend la forme

(P,.xo*+(P„x,)«+...+(p„x,)»+p.x,+... + p,x,+ p/=o.

Si tous les ^ii sont égaux à i, je dirai que l'équation est régularisée suivant des vecteurs orthogonaux unitaires. Toute équation aux opérateurs X du type (3) peut être régularisée suivant des vecteurs orthogonaux unitaires. Il suffit, en effet, de prendre pour nouveaux opérateurs les formes linéaires contenues dans les parenthèses du premier membre de (i5); les deux groupes définis par les X ou par r formes linéaires à coefficients constants de ces mêmes opérateurs X ne sont pas distincts. Cette dernière réduction est certainement très avantageuse au point de vue de la simplicité de forme obtenue finalement pour le premier membre de l'équation, mais il faut observer que, au point de vue où nous nous sommes placés au début de ce Mémoire, cette simplicité importe moins que celle des opérateurs euxmêmes.

H. Régularisation d'une équation quelconque. — Étant donnée une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre, absolument quelconque, ce qui précède montre que Ton peut toujours réduire son premier membre à une somme de carrés symboliques d'opérateurs de la forme (i), somme suivie de termes du premier ordre formant un opérateur de même nature, car les expressions trouvées pour les coefficients des dérivées partielles (i6) peuvent représenter des fonctions quelconques, mais il faut bien observer qu'alors les opérateurs, tels que (1), n'appartiendront pas forcément à un groupe. De plus, les choses pourront être compliquées encore par l'ensemble des termes du premier ordre, ensemble formant, en général, un opérateur distinct des précédents. Naturellement ces équations quelconques ne jouiront en rien des propriétés étudiées au début de ce Chapitre, mais je remarquerai cependant que la régularisation met en lumière certains points intéressants. Une équation à r variables se régularisera, en général, avec r carrés symboliques. Ainsi, une équation du second ordre, à deux variables, régularisée, contient, en général, deux carrés dans son premier membre, les deux carrés pouvant être remplacés facilement par un produit; on retrouve la forme donnée à l'équation générale du second ordre par Legendre et Imschenetsky (E. Goursat, Leçons sur V intégration des équations aux dérivées partielles du second ordrCy t. II, p. 32). Les méthodes de ces deux savants, celle de Laplace, ne s'étendent pas aux équations générales à plus de deux variables, mais si, parmi ces dernières, on considère la classe de celles qui se régularisent dans l'espace à deux dimensions, lesquelles ne contiennent que deux carrés, l'analogie avec les équations à deux variables subsiste. Je ne puis m'étendre ici plu$ longuement sur ces idées, mais la décomposition en carrés symboliques me paraît comparable à la décomposition des formes quadratiques algébriques.

Les équations régularisa blés à l'aide de nombres différents de carrés sont, à coup sûr, aussi séparées que les formes algébriques qui sont dans le même cas. La régularisation peut donc être la source de classifications analogues à celles de la théorie des caractéristiques.

12. Applications des théories précédentes. — Après les équations à coefficients constants, étudiées au Chapitre précédent, les plus simples

no A. BUHL.

seront celles formées d'opérateurs aussi simples que possible appartenant à un groupe continu simplement transitif. De tels groupes sont les groupes projectifs du plan dont les opérateurs sont de la forme

Ç et Y) étant du premier degré en x et y. De tels opérateurs formeront, comme on le voit facilement, des équations dont les dérivées du second ordre auront pour coefficients des formes du second degré en x et y, les dérivées du premier ordre ayant pour coefficients des formes du premier degré de ces mêmes variables. Réciproquement, des équations aux dérivées partielles de cette forme, lesquelles correspondent aux équations différentielles ordinaires admettant pour intégrale la série hypergéométrique, auront toujours certaines chances de pouvoir être considérées comme formées des opérateurs d'un groupe projectif, vu l'assez grande variété de formes que présentent ces groupes.

Voici un Tableau de groupes projectifs à deux paramètres; ce sont de véritables groupes à deux paramètres ou des sous-groupes tirés de groupes plus généraux.

On représente, suivant l'usage, les opérateurs •r-^^'f par p et y. Groupes dont l'une des constantes de structure est nulle.

lo (XY)r=XX.

Structure

'^p—yq

yq^xp

axp -+- hyq

axp-^byq

xq

axp -h byq

yp

axp -\- hyq

a — byO

p^xq

xp-hiyq

p-^yq

ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. Ifl

1^ (XY)=(xY.

Structure.

xq

Oïl

yp

xp

x-p -H xyq

^yp^y^q

xp-^yq

x^p-Jt-xyq

yq — xp

xyp^y^q

xp -h ^yq

{x^~y)p^xyq

xp^q

xq

Ces groupes sont empruntés à l'Ouvrage de S. Lie et G. Scheffers : Vorlesungen ûber continuierliche Gruppen (p. 288).

D'après un théorème général de Lie {loc. cit. y p. 435 : Théorie der Transformations gruppen j t. I, p. 34o), deux groupes simplement transitifs, ayant même structure, sont semblables, c'est-à-dire qu'on peut les ramener l'un à l'autre par un changement de variables.

Ainsi, dans la liste précédente, nous pouvons prendre deux groupes au hasard et les transformer l'un en l'autre. Soient, pour fixer les idées, p, axp -h byq à ramener à la forme xp^ xq. Pour que les structures soient complètement identiques, il convient d'abord de les écrire

XÇj —^Py I»0.

Nous avons ensuite (S. Lie, loc. cit.) à intégrer le système complet

df ,ôf df b df , àf

dx ôy' ' ox a*^ oy ox'

qui admet les deux intégrales distinctes xx' — y'=Cy y^x'^=C^^ d'où les formules de transformation *