II. — Équations aux opérateurs X

^. Soient X,, Xg, . . ., X^ les r opérateurs :

qui définissent les transformations infinitésimales d'un groupe continu simplement transitif. Suivant les notations en usage, j'écrirai X/X;^ pour X/[X^( )] et (X/X^t) pour X^Xj^— X^^X,-. Les opérateurs précédents déterminant par hypothèse un groupe, nous avons

les Cijfg étant des constantes satisfaisant aux identités de Jacobi.

Nous pouvons imaginer que l'on forme une équation aux dérivées partielles avec les opérateurs X exactement comme les équations du

Chapitre précédent étaient formées avec les opérateurs -r-- Par analogie, une telle équation pourrait s'appeler très justement une équa-

lion aux opérateurs X à coefficients constants. En nous tenant au second ordre, nous verrons facilement que sa forme la plus générale est

a,,X^-H 2a,2X,X2-f- sajjXiXg 4-. . .-i-2a,^X4X^

4- a^oX^ 4- aaaaXaXa-h. . .H- aa^^XjX^ 4- ajjXJ 4-.. .4- sag^XjX;.