III. — L'équation d'Euler et Poisson
13. Il résulte de ce qui précède que les équations les plus simples, après les équations à coefficients constants proprement dites, sont celles dont le premier membre est formé d'opérateurs appartenant à un groupe projectif plan. En fait, la simplicité relative de telles équations a naturellement conduit les géomètres à s'occuper d'elles. On en a un bel exemple dans l'équation d'Euler et Poisson :
(i) (x ^ yy^£^ - n{x ^ y)^+ m{x -^ y)^ - pf =Oy
à laquelle M. G. Darboux a consacré de fort belles pages dans ses Leçons sur la Théorie des surfaces (t. II, p. 54), en se réclamant surtout de la méthode de Laplace et de résultats appartenant en propre à lui et à M. P. Appell.
Je vais reprendre cette étude par les méthodes du Chapitre précédent en m'efforçant surtout de séparer de l'équation toutes les propriétés qui ne lui appartiennent pas en propre, mais appartiennent aux opérateurs :
et qui, par suite, appartiendraient tout aussi bien à une équation de forme et d'ordre quelconques formée avec les mêmes opérateurs.
ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Il3
L'équation (i) s'écrit avec les opérateurs (2) :
(3) XY - nX 4- (m - i) Y - /?/= o.
En multipliant d'abord par 4? on la régularise facilement à l'aide de deux vecteurs de longueur nulle dirigés suivant les droites isotropes. On l'obtient ainsi sous la forme
Les opérateurs (2) forment un groupe dont les constantes de structure sont I et I. On a, en effet, (XY) = X-hY. Ce groupe étant projectif, on peut remplacer ses opérateurs par d'autres définissant des groupes projectifs de même structure. Cherchons, par exemple, en nous laissant guider par la simplicité, à écrire l'équation d'Euler et Poisson avec les opérateurs xp^ xq. Le changement de variables X =^ X — y, y =^ X -^y nous donne facilement
Supprimant les accents et portant dans (4), ii vient
ou, en développant et reprenant les notations ordinaires,
Pour m = w, on reconnaît une forme spéciale de l'équation donnée par Euler (G. Darboux, loc. cil.^ p. 56). Cette forme (5) étant obtenue, je préfère revenir à la forme habituelle et aux opérateurs (2), surtout pour ne pas m'écarter de la forme d'exposition adoptée par M. G. Darboux.
Déterminons d'abord des opérateurs permutables aux opérateurs (2).
Journ. de Math. (5« série), lome X. — Fasc. I, 1904. ^'^
Il4 A. BUHL.
II nous faut intégrer le système complet
auquel on trouve facilement les intégrales
x' — y' xy — x^ y X — y^ X — r
qui, égalées à des constantes arbitraires a et 6, donnent les formules de transformation
(6) a;'=aa?-:-6, y —.ay ->rh.
Ce sont les transformations finies du groupe réciproque de (2); on trouve alors immédiatement ses transformations infinitésimales :
On vérifie facilement que ces deux opérateurs sont permutables aux opérateurs (2).
Il s'ensuit que toute équation linéaire formée avec les opérateurs (2), quels que soient sa forme ou son ordre y a ses solutions changées en d'autres solutions par la transformation (6) et les opérateurs (7). Pour l'équation d'Euler et Poisson, ce résultat a d'ailleurs été donné par M. G. Darboux {loc. cit. y p. 61) qui rappelle que Sophus Lie l'a également obtenu. Mais il est à démêler d'autres qui, au premier abord, paraissent de même nature. Ainsi, pour/? = o, l'opérateur
change toute solution de l'équation (i) en une autre, mais c'est là une propriété particulière à l'équation d'Euler et Poisson; elle n'est plus vraie pour une équation construite avec les opérateurs (2) assemblés au hasard. De même, l'élégante transformation finie de M. P. Appell est une propriété particulière à (i) pour p = o.
14. D'après ce que nous avons vu à la fin du n** 6, l'équation qui
ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Il5
nous occupe doit avoir une solution dont le type subsiste pour toute équation formée des opérateurs (2), les solutions du type contenant au moins une constante arbitraire qui est particularisée, quant à chaque équation particulière, au moyen d'une équation algébrique. D'après les généralités du n" 6, ce type de solution est ici défini par l'exponentielle e", U étant solution du système
(^""^)^^^«' ^^'—y)% = ^'^^ Xa,-{-[xa2 = o;
X et [X sont les constantes de structure de (2), donc i et i, si bien qu'en posant a< = — aj = a, on trouve la solution
U = alog(.r-jK), d'où
La solution {x — yY appartient donc à toutes les équations linéaires formées des opérateurs (2). Dans chaque cas particulier, a est racine d'une équation algébrique qui est ici :
On vérifie immédiatement que, comme l'indique la théorie générale, la solution en question n'est pas généralisée par la transformation (6). D'ailleurs les opérateurs (7) ne la transforment pas non plus en une solution nouvelle. Partant de la solution {x — yY dans laquelle il est sous-entendu que a est racine de (8), il est naturel de chercher des solutions de l'équation (i) qui soient de la forme {x — y)* 6 (a?, y). La fonction 6 est alors déterminée par une équation telle que
^"'^ dxdy œ — ydx ^^ ^ V ày ~ *
que j'appellerai, avec M. Darboux, l'équation E([3, [3') en désignant par Z(p, P') une quelconque de ses solutions (G. Darboux, loc. cit., p. 55). L'équation (8) nous montre immédiatement que, comme solution du type précédent, l'équation (9) admet (x — jk)*"^'"^', ce qui est un résultat bien connu.
I ff) A. BUHL.
IS. Sur Vapplication d^une méthode de Laplace généralisée par M, Picard. — 11 nous reste à partir d'une solution de (9), distincte de la précédente, pour qu'on puisse la généraliser par une transformation du groupe (6). Ici se pose alors la question générale de trouver une première solution particulière des équations qui nous occupent. Le procédé applicable à l'équation d'Euler et Poisson qui consiste à chercher une solution qui soit le produit d'une fonction de X seul par une fonction de y seul est peut-être le plus simple auquel on puisse avoir recours. Plus généralement, si l'on considère que les équations ici étudiées ont souvent des coefficients qui sont des formes linéaires de x et de y^ il sera d'un grand secours dans de tels cas d'appliquer la méthode donnée par Laplace pour les équations différentielles ordinaires et étendue aux équations aux dérivées partielles par M. Picard. {Sur une classe d^ équations aux dérivées partielles du second ordre. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1891 , p. 3o8). Cette méthode de M. Picard est fort intéressante à comparer avec celle développée dans le présent Mémoire, bien que toutes deux ne puissent s'appliquer toujours aux mêmes équations. En effet, la méthode de M. Picard s'applique à des équations à coefficients linéaires qui peuvent parfaitement ne pas être formées des opérateurs d'un groupe, seul cas étudié ici, mais d'autre part elle ne s'applique pas dans le cas de coefficients quadratiques alors que les équations de ce Mémoire peuvent en présenter de tels. Mais dans les deux cas on peut obtenir, de bien des manières, des solutions renfermant une fonction arbitraire (E. Picard, loe. cit.). Pour les équations aux opéraleurs X, on peut, de toute solution contenant une fonction arbitraire, en déduire d'autres au moyen des opérateurs réciproques Y. Seulement rien n'indique que cela augmente toujours la généralité.
Pour en revenir à l'équation d'Euler et Poisson nous pouvons facilement en trouver des solutions particulières telles que
en raisonnant soit comme M. Darboux, soit comme M. Picard.
La première est d'une importance capitale, car on peut en déduire l'intégrale générale au sens de Riemann sans s'appuyer sur d'autres propriétés de l'équation que celles qui appartiennent aux opérateurs
(2) comme on le verra dans un instant. Tout d'abord notre première solution devient par la transformation (6)
Considérant a et b c^mmc des fonctions d'une certaine variable u et ç (tt) désignant une fonction arbitraire, on conclut de là la solution
(il) /?(«) («^ •+- ^)""^ (^y -»- by^'du.
En raisonnant de même sur la seconde solution ( lo) et ajoutant à la précédente on aurait la formule à deux fonctions arbitraires donnée dans un cas particulier par Poisson et généralisée par M. Appell. Or cette formule est la source d'une foule de solutions; elle peut même donner celles déduites par M. Darboux, dans un ordre d'idées diflerent, de la méthode de Laplace. Ainsi soit u une variable imaginaire et prenons l'intégrale
(12) f<f(u)(x — w)-P(7 - u)-^ du
le long d'un contour infiniment petit décrit autour du point singulier u=^y en supposant que [3 et [3' soient des entiers positifs m et n. On obtient à un facteur constant près
ejM^i cp(j) ^.i^u-« r<p(r) 1
ày"-^ (^ — / )"' dx'" - * dj"-* L*^ — / J
En raisonnant de même pour le pôle u = x^ on aurait une autre formule qui, avec la précédente, donnerait
X et Y étant respectivement fonctions de x seul et de y seul. (G. Darboux, foc. cii.j p. 65.)
Comme autre exemple observons d'abord avec M. Darboux que les limites constantes de l'intégrale (12) peuvent être remplacées par x
Tl8 A. BUHL.
OU par y , si bien que l'intégrale
où A est une constante arbitraire, est une solution. On reconnaît une intégrale définissant la série hypergéométrique (E. Picard, Traité cT Analyse, t. II, p. 228) et nous retrouvons la solution connue
16. Sur la recherche de V intégrale générale diaprés Riemann. — La recherche de l'intégrale de Riemann qui est déterminée dans tout le plan quand on lui assigne des valeurs arbitraires sur les caractéristiques de l'équation nécessite d'abord la considération de l'équation adjointe
/ Qv dUi . p' du p du p-hp'
^ ^ axoy a — y ôjc oc — y oy i^x — yy
pour laquelle il faut trouver une solution se réduisant respectivement à
pour x:=^x^ et y = y^^ x^^ et y^]o\ïBj[\l le rôle de constantes arbitraires dans cette solution qui doit satisfaire aussi à l'équation primitive, si l'on y considère au contraire x^ et y^ comme les variables. Sans revenir sur la savante analyse par laquelle M. Darboux résout ce problème, je veux simplement montrer que le résultat ne dépend au fond que de l'existence de la solution de laquelle nous sommes déjà partis. En effet, l'équation adjointe (i3) est aussi une équation d'Euler et Poisson qui admet la solution u = {x — y)^"^^^^ si p satisfait à
d^i> ^ dv ^ p' dv
dx dy X — y dx x — y dy
Or, nous pouvons prendre
= [(« - i)x - {ux,^y,)]-^'[(u - i)y - (wJ^o— ro)J"^ Uj x^j y^ étant jusqu'ici des constantes, d'où la solution
juh' \u(^x - x^) -(x- 7o)]-P'[w(r - ^0) ~ (y - yo)]-^du.
Pour limite supérieure de cette intégrale définie, on peut prendre Finfini positif et pour limite inférieure ^^-^, car P' se pouvant mettre
avec l'approximation que l'on veut sous la forme — — -^ p et q étant des entiers, ladite limite inférieure de l'intégrale sépare une partie réelle d'une partie purement imaginaire. Posant w = 7 ^-^^> on a
Cette solution p multipliée par {x — y/*"^ donne la solution u désirée. Pour x = Xq^ y =y^^ elle se réduit à un facteur constant près aux expressions (i 4). U resterait à vérifier que, considérée comme fonction de Xq et y^y elle satisfait à l'équation primitive, ce pourquoi je renvoie à l'ouvrage de M. Darboux.
Tous ces exemples montrent le grand parti que l'on peut tirer de solutions particulières dans la théorie des équations qui nous occupent.
IV. — Exemples divers* — Surfaces déterminées par la projection d'un système de lignes asymptotiques*
17. Les méthodes précédemment développées sont évidemment susceptibles de s'appliquer à beaucoup d'équations que l'on traitera comme l'équation d'Euler et Poisson, soit immédiatement, soit après un changement de variables ramenant, s'il y a quelque avantage à cela, les opérateurs du premier membre à d'autres opérateurs phis
I20 A. BUHL.
simples. Je développerai un exemple en ce sens à propos d'une équation parabolique. Nous avons déjà vu que la famille de courbes
^'^ djc A.
pouvait être considérée comme la projection d'un système d'asymplotiques de toutes les surfaces définies par l'équation aux dérivées partielles
ou
XH/)-Y(/) = o,
si l'on pose
' A côté du cas d'intégrabilité précédemment étudié au n** 7, cas où les opérateurs X et Y étaient permutables, nous allons étudier celui où ces mêmes opérateurs définissent un groupe dont les transformations ne sont pas permutables. On aura donc
(XY) = XX-f-[xY,
X et [JL désignant des constantes. En écrivant que les opérateurs (3) réalisent une telle condition, il vient les relations
X='( A) - Y(A) == XA 4- [/.X(A), X^(B)-Y(B)=XB -f-[/.X(B).
Elles forment un système d'équations non linéaires fort compliqué. Si l'on consent à altérer la symétrie, on gagne tout de suite beaucoup en simplicité en remarquant que la première équation admet la solution A = I , si X = o. Reste alors la seconde
X»(B)-Y(B)-hlX(B) = o,
ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DERIVEES PARTIELLES. 121
OU
Donc si B est une solution quelconque de cette dernière équation nous pouvons appliquer les méthodes développées dans le présent Mémoire à l'équation linéaire
qui est alors formée avec deux opérateurs X et Y, tels que
(XY) = {xY.
Tous les groupes définis par cette relation peuvent se ramener par un changement de variables au groupe projectif très simple
\=z u.x-T-y Y=ar-3- ^ dur ây
qui y satisfait comme on le vérifie immédiatement.
Donc, quelle que soit la solution B satisfaisant à (4), l'équation (5) pourra toujours se ramener à la forme
ou, en développant,
^ ^ âx^ X dx ^x ày
Telle est donc l'équation que nous avons à étudier.
18. Pour trouver les opérateurs permutables à xp et xq^ il nous faut intégrer le système complet
Journ, de Math. (5« série), tome X. — Fasc. I, 1904.
122 A. BUHL.
qui admet les intégrales
En les égalant à des constantes arbitraires a et 6, nous avons les formules de transformation
(7) x'=ax, y=ay^b,
qui sont les transformations finies du groupe réciproque de xp^ xg. Pour les transformations infinitésimales de ce groupe réciproque, on trouve immédiatement les opérateurs
Donc les transformations finies (7) et les opérateurs (8) changent toute solution de réquation(6) en une autre solution. Ce résultat, qui subsiste évidemment pour toutes les équations linéaires aux opéraleurs xp et xçj n'est pas distinct, en particulier, de celui relatif à l'équation d'Euler et Poisson mise sous la forme (5) du n** 13.
L'équation (6) étant écrite avec des opérateurs aussi simples que possible, on peut se demander si, inversement, on ne peut lui donner une forme encore plus simple, quitte à employer des opérateurs un peu plus compliqués. Nous pouvons essayer le procédé de réduction indiqué par M. E. Goursat dans ses Leçons sur les équations aux dérwées partielles du second ordre (t. II, p. 89). L'équation (6) admet les deux solutions évidentes \o^x et x -h [x^y. Faisons d'abord le changement de variables
M = logx, ^=JK.
Les opérateurs xp el xq deviennent
du ^ dv' et l'équation (6) s'écrit alors
Quant au changement de variables il transforme les opérateurs xp eixq en
et l'équation (6) en
Ces formes réduites sont intéressantes, surtout la seconde qui, pour |JL = I , nous donne encore un exemple simple d'équation formée avec les mêmes opérateurs que Téquation d'Euler et Poisson, mais aucune d'elles ne paraît présenter de plus grandes facilités d'intégration que la forme primitive. J'ai observé, au contraire, qu'il était utile, quant à
la recherche d'une solution particulière, de remplacer x par —-r*
L'équation devient alors
do;* X dx [L* dy et peut être considérée comme formée avec les opérateurs
^ V c[v I cy \ oj
^ ^ dx^ X dx \k' dy
^'*>' ^dx' -^ dy
Les transformations finies et infinitésimales (7) et (8) sont alors remplacées par
(12) x'=ax^ y=za^y-\-by
^ ^ ^ dy dx ' ^ dy '
19. Recherche d'une solution particulière. Application de la méthode de Laplace généralisée par M. Picard. — On peut d'abord rechercher une solution de l'équation (10) en admettant qu'elle ait
124 • A. BUHL.
la forme XY, X étant fonction de x seul, Y fonction dey seuL En effet réquation
X"Y4-iX'Y4-^XY'=o
se scinde immédiatement en les deux suivantes : (i4) X''H-^X'-hX = o, Y'-(jL»Y=:o.
On reconnaît immédiatement dans la première une équation linéaire intégrable au moyen des transcendantes de Bessel (H. Laurent, Traité d^ Analyse y t. V, p. 218).
D'ailleurs on vérifie sans peine que l'expression
AtV^J^^^^ \ "" 2 Tl "^ 2 4 4! "" 2 4 6 6T "^- • 7
en est une solution.
La seconde équation ( i4) donnant Y = ^^'^, nous avons, pour (10), la solution particulière
dct
que Ton peut, si on le désire, débarrasser de tout élément imaginaire en remplaçant x par — ix et y par — y, substitutions évidemment permises d'après les formules (12). On obtient ainsi
Comme je Tai expliqué au Chapitre précédent, on pourrait aussi appliquer la méthode de Laplace généralisée par M. Picard (foc. ci/.). Cette méthode consiste à poser
/=Jfê^^e^^^(0L^)d0Ld^.
On a ensuite
dx
x-\= y*e"eP''a»(j;(aP)4— ffe^e^^-j-Joi*^)dad^,
Cfe'^e^^aL^ddd^:
Additionnant, il faut pouvoir annuler tout le second membre. On déterminera d'abord la fonction *^ comme devant satisfaire à réquation
OU
d'où
ç étant une fonction arbitraire. Si maintenant on imagine, pour fixer les idées, que les intégrations par partie par rapport à a aient été faites entre les limites — i et -f- 1 , il nous reste à annuler
Donc, en suivant toujours le raisonnement de M. Picard, nous pouvons considérer p comme une variable imaginaire et dire que, si Von peut trouver une fonction ? (P) ^^ un contour C tel que V intégrale
(.6) f^^me^'sffTV^d^
soit nulle^ l'intégrale double
est solution de (lo).
126 A. BUHL.
Si, comme application, nous prenons f(p) = ^ , et si le contour C
est une circonférence infiniment petite entourant le point ^ = — (x*, rintégrale (i6) est nulle, comme on s'en aperçoit facilement, et (17) devient, à un facteur constant près.
On retrouve ainsi la solution (j 5).
20. Généralisation de la solution particulière obtenue. — Si dans la solution (i5) on remplace x par x' et y par j', conformément aux formules (12), on obtient une nouvelle solution qui, à un facteur constant près, est
Multipliant par F(a)rfa, F étant une fonction arbitraire et intégrant entre des limites quelconques simplement assujetties à donner un sens à rintégrale, nous avons la solution plus générale
(.8) /F(a)6'-^""-y'"^^rf«t/a.
De telles expressions sont évidemment en nombre illimité, car toutes les solutions qui se déduisent de (18) en particularisant F(a) peuvent évidemment être traitées à leur tour comme (i5). Ainsi, si, dans la formule précédente, nous prenons la première intégrale entre — oc et + Qo en faisant F(a; = i, il est facile d'intégrer par rapport à a en partant de
/ e'^'dt = )Jt..
(A. Gauchy, Œuvres complètes^ 2" série, t. VII, p. 280). On trouve ainsi
ÉQUATIOIYS LINÉAIRES AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. I27
expression qui, comme on le vérifie facilement, est bien solution de (9). En posant -^ = — c, on déduit immédiatement de (19) la nouvelle formule
$(c) étant cette fois la fonction arbitraire.
Cette dernière formule est intéressante ; Tune des limites constantes de la première intégrale pourrait être remplacée par y, car, lorsque c varie en passant par cette valeur, nous avons de part et d'autre une valeur réelle et une valeur purement imaginaire pour Tintégrale. Je me suis proposé d'autres questions laissées momentanément en suspens tant elles paraissent contenir de difficultés nouvelles, notamment celle d'appliquer à l'équation (10), pour de certains contours, la méthode de Riemann. En fait, d'ailleurs, rien n'autorise le seul essai d'appliquer à une équation parabolique des méthodes qui jusqu'ici ont été plutôt particulières aux équations hyperboliques. Toutefois il faut noter que, à l'aide d'un artifice des plus ingénieux, M. P. Appell a appliqué la méthode de Riemann à l'équation
dx^ ây
[Sur V équation r — q = o (Journal de Mathématiques, 1892, p. 187)] composée d'opérateurs permutables, et ceci, dans une certaine mesure, autorise des recherches pour une équation qui, telle que (10), a un premier membre formé d'opérateurs appartenant à un groupe.
21. Applications géométriques de ce qui précède. — D'après ce que nous avons vu au n** 17, à toute solution B de l'équation (4) correspond une famille de courbes-
qui peut être considérée comme la projection d'un système d'asympto-
128 A. BUHL.
tiques de surfaces dont la connaissance dépend de l'intégration d'une équation linéaire aux dérivées partielles (5) dont la forme diffère suivant celle de B, mais qu'un changement de variables convenable pourra toujours ramener identiquement à l'équation (9). Il semble fort peu commode de trouver des solutions de (4), si bien que les résultats ne seront ni aussi nombreux, ni aussi élégants que dans le cas (voir^n n^ 7) où l'équation (2), du présent Chapitre, se composait d'opérateurs permutables.
Cherchons d'abord une solution de (4) qui soit fonction de x seulement, si bien que la famille de courbes (21) s'obtiendra par la translation faite parallèlement à l'axe des y d'une des courbes la composant. On trouve immédiatement
a et 6 étant des constantes. L'équation (2) est alors
et est formée avec les opérateurs
définissant un groupe dont les constantes de structure sont o et (jl. Nous devons pouvoir les ramener aux opérateurs (i 1), ou plus exactement à
(23) ^xf, -jx^f,
par un changement de variables dont la connaissance exige d'abord l'intégration du système complet
ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DERIVEES PARTIELLES. I 29
On en trouve assez facilement les deux intégrales
qui, égalées à des constantes arbitraires, donnent les formules de transformation
-^-(rJ^'"-^^(^^->') + G']
On vérifie sans peine qu'elles transforment les opérateurs (22) en les opérateurs (23). Finalement, nous voyons qu'à toute solution S(a?,y) de l'équation (10) correspond, par les formules (24), une double infinité de surfaces 5 = S(ar',y') dont un système d'asymptotiques se projette suivant la famille de courbes
dx
qui contient notamment les courbes dont la sous-tangente est constante. Ces résultats peuvent être étendus par une transformation homographique.
22. On pourrait maintenant se proposer de rechercher d'autres solutions de l'équation (4); il y en a qui sont fonctions de y seul, d'autres qui sont le produit d'une fonction de x seul par une fonction de y seul; mais il serait certainement fastidieux de multiplier les exemples en ce sens.
Le but de ce Chapitre a surtout été de montrer comment, une équation telle que (2) étant donnée, on peut chercher les conditions permettant de la considérer comme formée avec les opérateurs d'un groupe simplement transitif, puis, dans les cas où cela est réalisé, de trouver un changement de variables aussi avantageux que possible pour sa simplification et finalement son intégration au moyen d'intégrales définies multiples contenant des fonctions arbitraires.
Journ. de /l/af/i. (5« »éric), tome X. — Fasc. I, 1904.
SLR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS \UX DÉHIVÉES PARTIELLES. l3l
Sur une classe d'équations aux dérwées partielles, du second ordre, du type hyperbolique, à ^ ou ^ variables indépendantes ;
Pae m. R. d^ADHÉMAR.
