PREFACE
Les équations aux dérivées partielles peuvent être étudiées a deux points de vue : ou bien l'on cherche une intégrale contenant tout V arbitraire possible ( * ) : c'est le problème de Cauchy, et l'on regarde alors, en général, tous les éléments comme analytiques (développables en série de Taylor) ; ou bien l'on cherche une intégrale définie par des conditions données sur une frontière donnée : c'est le problème de la Physique mathématique, le problème dans le domaine RÉEL, et les éléments ne sont pas forcément analytiques.
Ce Mémoire est consacré à l'étude du problème réel pour les équations :
A / \ d^u d^u d^u du , , au , du - . ,
(•) G. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces (Gauthier-Villars), t. II, p. 97. — E. G0UR8AT, Leçons sur les équations aux déri%>ées partielles (Hermann).
Journ. de Math. (5* série), tome X. — Fasc. U, 1904. ^^
R. d'aDHÉMAK.
et
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les a, 6, . . ., A étant des fonctions des variables indépendantes. L'équation
a été étudiée, à ce point de vue de détermination d'une intégrale par ses valeurs sur une surface, par M. Volterra (*), professeur à l'Université de Rome.
Le Mémoire de M. Volterra est d'une lecture difficile, mais il suffit délire les pages 182-184, puis 185-193, pour saisir son idée fondamentale^ qui se rattache à la méthode de Green pour le problème de Dirichlet, et à la méthode de Riemann pour les équations du type :
Les équations (H), dites hyperboliques y admettent pour caractéristiques les parallèles aux bissectrices des axes (*). M. Volterra a reconnu intuitivement que les cônes A parallèles au cône
jouent le rôle de caractéristiques pour l'équation
et cela plusieurs années avant que M. J. Beudon, au point de vue du problème de Cauchy, ait étendu la définition des caractéristiques au cas des équations à plus de deux variables indépendantes.
Pour l'équation de Laplace, l'analogue de A est un point, et il existe des dififérences profondes entre les équations à caractéristiques
(*) Acta matheniatica, l. XVIII, 1894.
(') Ém. Picard, Bulletin des Sciences mathématiques, 1899 et Cours de la Sor bonne, 1899, ^ insisté sur la disposition nécessaire des données par rapport à ces droites.
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. l33
réelles y dites hyperboliques , et les équations à caractéristiques imaginaires y dites elliptiques ( * ).
Nous traitons donc ici du Problème réel pour des équations à caractéristiques réelles.
Tout d'abord j'ai mis en relief la notion de conormale (^), et l'idée et le mot ont été adoptés, de suite, par MM. Hadamard (') et Cou- Ion (^).
Parla j'^piV^ les longs calculs de M. Volterra et, en second lieu, je détermine les surfaces privilégiées, c'est-à-dire celles qui sont susceptibles de déterminer une intégrale avec moins de données que les surfaces ordinaires, et cela tout intuitii^ement.
Ces surfaces sont les plans à 45** sur le plan a?Oy, ou les cônes A, pour (A), comme pour (H) les bissectrices sont les droites privilégiées.
Ce Mémoire se divise tout naturellement en trois Parties dont je résume ici le contenu :
