Troisième Partie : Extensions diverses

Plusieurs problèmes, extensions de celui de M. Volterra, ont été étudiés et résolus récemment. Considérons d'abord les équations :

Pour ces équations M. Tedone (*) a résolu, sans peine, le problème intérieur et aussi le problème extérieur pour p = 2n. Personne n'avait réussi pour le problème extérieur lorsque p est impair. J'y suis arrivé pour p = 3(^). Bien entendu, l'on retrouve une accumulation de conditions pour les données dont il ne semble pas que l'on puisse dire grand'chose. En général, le problème est impossible.

(*) Annali di Matematica, 1898.

(') Comptes rendus de L'Académie dés Sciences, 16 décembre 1902.

SUR V^E CLASSE D^EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. l35

Considérons maintenant les équations étudiées par M. J. Coulon(*)

L'on connaît les beaux résultats de M. Picard, par les approximations successives dans le cas de deux variables indépendantes, pour les types elliptiques et hyperboliques (et dans le cas de deux variables, tous les types se ramènent à ces deux-là ou au type parabolique).

J'ai tenté d'intégrer :

Mais, après ma Note (^), a paru la Thèse de M. Coulon. Pour p et q supérieurs k un^ l'on n'a plus affaire qu'au /?ro6/è/we extérieur ei Ton retrouve les conditions. Ma solution était formelle, par suite. Mais, pour y = i, j'ai intégré V équation dont le second membre est linéaire par rapport aux dérivées premières.

Ainsi donc la méthode d'approximation de M. Picard, aussi bonne pour le problème réel que pour le problème de Cauchy^ est encore féconde pour certaines équations, du type hyperbolique, à plus de deux variables indépendantes.

Je n'ai pas abordé l'étude des systèmes d' équations du type hyperbolique. M. Hadamard a fait l'extension aux systèmes de la notion de caractéristique (*), introduite par M. Beudon. Mais il n'y a plus Vanalogue de la conormale et je n'aurais pu que répéter MM. Volterra et Tedone.

L'on peut, pour les systèmes de M. Voiterra, mettre un second membre linéaire par rapport aux dérivées premières et intégrer en usant des approximations comme je le fais pour A^'* (w).

Je dois citer, relativement aux équations du type hyperbolique, les

(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences y 19 mars 1900.

(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 16 février 1902, et Bulletin de la Société mathématique de France, 1901.

(•) J. Bbudon, Bulletin de la Société mathématique de France, 1897, ®^ J. Hadamabd, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de V Hydrodynamique. Hermann, 1908.

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travaux de Cauchy, Poisson (*), M. Boussinesq, M. Poincaré, Riemann (^), M. Darboux (»), M. Picard (*), M. Le Roux (*), Kirchhoff (•), M. Hadamard ('), etc.

Pour les approximations, on doit citer d'abord les mémorables écrits de M. Picard ("), puis M. Zaremba (•), M. E. Le Roy (*«), M. Delassus (**), etc.

Il y a là une méthode fondamentale également féconde dans la théorie (**) des équations fonctionnelles et dans la théorie des équations différentielles^ et qui permet de ne pas rester exclusivement dans le domaine analytique qui est un domaine restreint.

C'est sous Finfluence de renseignement de M. Picard que j'ai entrepris ce travail et je dois beaucoup à ses conseils très bienveillants et à ses encouragements pour les quelques résultats que je donne ici, et que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie des Sciences les 1 1 février 1901, 16 février 1902, 16 décembre 1902 (*'),

(*) Voir le Cours de M. P. Duhen, Sur V Hydrodynamique. Hermann.

(') Œuvres, tradoctîon française, Gauthier- Villars.

(•) Leçons sur la Théorie des surfaces, t. II.

(*) Bulletin des Sciences ma thématiques , 1899, ®^ Cours professé à la Sorbonne, printemps 1899.

(•) Journal de Mathématiques, 1900, et Thèse (Annales de l'École JVormatey 1897).

(•) Zur Théorie dis r Lichstrahlen {Kaiser liche Akademie, 1882).

(^) Leçons. Hermann, 1908.

(•) Journal de Mathématiques, 1890 et 1898. Traité d'Analyse, t. Ill, et supplément au Tome IV des Leçons de M. Darboux.

(»») Thèse (Annales de l'École Normale, 1898).

(") Thèse {Annales de l'École Normale, 1898).

(") Mémoires de M. Picard {Acta mathematica, t. XVIII et XXIII), etc.

(") Pour les renseignements bibliographiques détaillés, voir la Thèse de M. J. Coulon.

On pourra être étonné que je ne cite pas avec plus de détails les travaux de KirchhofT, par exemple, si importants; mais c^est que M. Volterra est le seul géomètre qui ait étudié les équations (A) au point de vue qui est celui de ce Mémoire.