CHAPITRE I

INTÉGRATION DE k{u) = ¥ {x, y^ s)^ LORSQUE LA SURFACE QUI PORTE LES DONNÉES EST DÉCOUPÉE INTÉRIEUREMENT D'uNE MANIÈRE UNIQUE PAR TOUT CÔNE A AXE VER- TICAL ET DONT LES GÉNÉRATRICES SONT INCLINÉES A 45"*.

Principe de la méthode d'intégration.

1. Considérons la formule (G) et cherchons une fonction V(ar,y, z)

telle que

telle que V soit nulle sur un cône A à 45**, de sommet A.

Fig. I.

^Vi^,^) "^'

OP

Nous sommes alors certain que, sur A, l'on a

dW d'après notre théorème.

Journ. de Math, (5« série), tome X. — Fasc. II, 1904. 19

i4o H. d\dhémar.

(MM. Vol terra et Coulon étaient obligés de faire un calcul pour s'en assurer.)

En plus, V(a7, y, z) sera infinie sur l'axe vertical Azf.

Dans ces conditions, si Ton applique la formule (G) au volume

marqué par des hachures, si w et ^ sont donnés sur S, la formule (G)

se réduira à une intégrale simple étendue de A en P égalée à un terme connu.

Une inversion donnera «(A).

Intégration.

Soit A : (a7o, y Of Zq), soient

z*= z - Zo, x'=:x — x^, y=y -r«'

soit

r "^ Qierchons une fonction V = (p(6). L'on a

V est bien nulle sur le cône A^ qui a pour équation

Soit r = 6 l'équation du cylindre vertical F, de rayon infiniment petit. La formule (G) donne

,r) iT)

SUR UNE CLASSE D^ÉQUÀTIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. I^i

(a étant l'angle polaire) et comme

lim(Vxe) = o,

ce terme est nul à la limite.

Puis, sur r, l'on a

dV d\ z'

dN âr ;.y/^'s r^

et u est fonction de z seul. On a donc

D'où

Par inversion,

aica(aro,7.,5o)=5^-

Et c'est, établie plus rapidement, la formule donnée par M. Volterra [formule (2) de la page i83)].

2. L'énoncé du théorème (p. 184) manque de clarté en ce qu'il y est question de dérivée normale. Nous énoncerons ainsi le théorème DE M. Volterra :

Si un cône à 45**, ayant un point A pour sommet^ découpe d'une manière unique et intérieurement une surface 2, sur laquelle sont données les valeurs de V intégrale et de sa dérivée conormale, l'on peut obtenir la valeur de l'intégrale en ce point A.

Ce qui a été dit dans l'Introduction (n** 2) donne le complément suivant :

Théorème complémentaire. — Pour toute portion de la sur/ace S

I 42 R. D ADHÊMAR.

quia le caractère de surface privilégiée, le fait de donner la valeur de V intégrale est nécessaire et suffisant.

Ces surfaces privilégiées. jouent, dans Tinlégration de A(tt) = F, le rôle que jouent les droites caractéristiques x± y = const, dans l'intégration de

5F«-^=F(^'r) ou ^-^ = $(^,:k),

rôle mis en lumière, d'une manière immédiate et sans aucune hypothèse sur la nature, analytique ou non, des fonctions, par M. E. Picard, dans une courte Note (*).

La forme du terme connu

montre que Tintégrale u^x^^y^^z^) peut être regardée comme la somme de deux intégrales, la première satisfaisant à

avec les conditions imposées sur £ ; la deuxième satisfaisant à

avec des données nulles sur £. Mais lorsque nous connaissons ainsi la forme analytique de «(a;.,^^? ^o)? «' f^ous reste encore un travail important à faire.

L'on ne peuty en effet, affirmer a priori la réciproque du théorème qui vient d'être énoncé. M. Volterra riLa pas étudié V intégrale et ses dérivées j et c'est ce que nous devons faire maintenant afin

(^) Bulletin des Sciences mathé ma tiques, 1899. Voir aussi les Leçons sur la théorie générale des surfaces, l. II, par G. Darboux.

de reconnatlre si V intégrale trouvée est uiie solution du problème, c'est-à-dire si sa valeur au point {x^^y^^z^) tend vers la valeur donnée w,, lorsque le point (a;©, y«, ^o) tend à se confondre avec le point (i) de S (où la valeur donnée est u^).