CHAPITRE II
ÉTUDE DE l'iUTÉGEALE ET DE SES DÉBITÉBS, LES DONNÉES A LA PBONTifeBfi ÉTANT NULLES.
L'on peut faire cette étude directement en partant de la définition même de la dérivée; c'est ce que je montrerai tout d'abord en obtenant une forme explicite de «^(a?o>jKo> ^o)- L'on pourrait faire de même pour les dérivées, et l'on rencontre des études intéressantes AHnfiniment petits; mais c'est long et, pour l'étude complète, je prendrai un autre point de départ.
1 . Étude directe (*) de l'intégrale. — L'on a : si l'on convient d'écrire
{Xbc}
J'affecte la lettre V de l'indice A pour bien montrer que la fonction auxiliaire V varie avec le point A (^o j J^oj ^o)-
Nous devons évaluer la dérivée -r^-
Donnons pour cela à z^ un accroissement infiniment petit dz^^. A vient en A' et l'on a
h'=fffP(^.y,^)y.'d^^
(*) Communiqué à la Société mathématique de France^ juin 1901.
144 R* d\dhémar.
Là dérivée cherchée est
Ja — Ja = — H.
Évaluons On a évidemment
'^^fif^^'^^in^^''-
(KK'bh'cC)
^('3Co^,JCo)
Considérons d'abord la deuxième intégrale; V^ ayant un signe constant^ l'on peut faire sortir F de l'élément différentiel (théorème de la moyenne); nous avons donc à calculer
le volume d'intégration étant le volume compris entre les deux cônes. Comme, d'ailleurs, on a
nous augmenterons l'intégrale en augmentant le volume, c'est-à-dire en remplaçant S par le plan horizontal le plus élei>é qui ait un point commun avec S (il peut être tangent à S, il peut ne l'être pas).
Application systématique du théorème de la moyenne y emploi de ce plan horizontal majorant j voilà d'ailleurs la marche constamment suivie dans ces recherches.
Calculons donc
(AA'Bfi'CC)
Le volume se décompose naturellement en deux parties : APQ et BB'PA'QCC, mais la fonction V^^ jouit d'une propriété remarquable. Pour tout volume conique régulier Ton a
fff''^'^=fff'''-
Donc notre intégrale relative au volume APQ est égale à ^ A A' et,
comme AA' = dz^^ elle est du troisième ordre. Évaluons l'intégrale relative à BB' P A' QCC Soit
Cj'f'^Cly ["^ ^ V(^)'-] -■*
(Z est la cote du plan majorant).
Or
Ici, en prenant pour r les limites voulues : z --z^ei z ^ z^ — dz^, l'on a
{s — Zp—dz
z — Zi
