I - ^—^x—\ V— [i.~2 V — îx — 3 , ,
\ fx -h 2 |x H- 3 |x -h 4 "f^ "^ * ■ '
6o J. BOL'SSINESQ.
43. Jetons enQn un coup d'œil sur le cas d'un sous-sol convexe, où l'on aurait /f<o, 4* > i ^t où, par suite, pour t croissant de zéro à l'infini, ^ grandirait de i à qo. La yd\(i\xv finale de ^ serait donc oo, au lieu de zéro. Aussi y aurail-il lieu de remplacer (87) par la formule
(«î)) ^ = - (^^p-^'^( Vi^~^) * --p— ^'^'
qui en est l'équivalent quand on fait abstraction d'une intégrale particulière de l'équation (86) prise sans second membre, intégrale appartenant à la /**""*** solution simple, censée obtenue déjà.
On voit que deux coefficients consécutifs, Gr, I, de la série (81) auront encore signes contraires dans chaque solution simple.
Mais, pourT ou ^ très grands, 'j^ — i ne différera pas, relativement, de ^{; ; et il viendra
ou, en substituant à I sa valeur (85), devenue ( — i)'i*'*-'^<];--' et faisant toujours abstraction, dans I, d'un facteur constant.
Ainsi, les coefficients de la série (81) deviendront, pour t très grand, du même ordre de petitesse que I, le dernier d'entre eux; savoir, comparables à la puissance (21)^*"* de l'inverse de v}/, inverse e*^ alors évanouissant.
L'expression correspondante Xr^i des écarts, ou, vu (73), r. .^ >
deviendra, par suite, de l'ordre de tt^"*, ou de (e^)^'■*•^ Cet ordre de petitesse croît avec i : il est celui de e*^, pour i = o, c'est-à-dire pour la solution fondamentale ou aussi, vu (05), pour H -h A dans le mode d'écoulement se conservant, et celui de {e^'^y pour ï = i, c'est-à-dire pour la solution simple donnant l'expression asymptotique des petits écarts à considérer, dans la question de stabilité du régime constitué par un tel mode d'écoulement.
Donc, en résumé, lorsque le sous-sol est comexe, ou A* négatif, le
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 6l
mode d'écoulement qui se conserve est encore stable ^ mais beaucoup moins que dans le cas d'un sous-sol creuXy où les écarts s'évanouissaient comme {e~^y^.
Ënûn, Ton voit que, pour un fond très convexe^ où /r, négatif, aurait une valeur absolue considérable, rendant ^ très grand quand t est modéré, les coefficients I, G, ..., C, B, A de chaque, solution simple seraient tous proportionnels à (<?*^)^'. Les solutions simples deviennent ainsi, comme dans les deux autres cas limites d'un fond plat et d'un fond très concave, les produits d'une fonction du temps par une fonction des coordonnées. Cette fonction du temps est c^^z+oArT^ d\oT^ qu'elle était (e'*^)*^'^*'^*^pour une nappe à fond très concave et T"-"'^®'"^'^pour une nappe à fond plat ( * ).
§ X. — Tentative de généralisation.
44. Serait-il possible d'étendre à des formes de la nappe, moins spéciales que celles d'un cylindre à génératrices horizontales, ou d'une figure de révolution (avec invariabilité du produit (xKr^), les résultats si simples et si précis qu'a donnés l'analyse précédente? Je n'ai, encore, guère eu le temps de le chercher; et ce qui suit n'est qu'une généralisation immédiate, mais un peu vague, de quelques-unes des idées mises en œuvre ci-dessus.
Comme les équations fondamentales (2) et (3) (n*"' 7 et 8) ne contiennent pas explicitement le temps, h est toujours de la forme
c est-a-dire
et l'on y satisfait aussi bien par
(*) Les principaux résultats contenus dans les §§ I à IX ont fait Tobjet de quatre Notes présentées à l'Académie des Sciences de Paris les 22 juin, 6, i3, 20 juillet 1903, et publiées aux. Comptes rendus de ces jours (t. CXXXVI, p. ion, et t. CXXXVII, p. 5, ici et i53).
que par
Cela posé, formons le système linéaire régissant la différence, Bh, de deux intégrales particulières, infiniment voisines, qui vérifient (2) et (3). Il sera formé évidemment par l'équation, indéfinie, obtenue en prenant la variation S de chaque terme de (2),
et par les conditions au contour, déduites de même de (3), (92) (8h ou ^^ j — o (sur le contour).
La remarque précédente montre que ces équations linéaires, en o/e, admettent comme intégrale particulière l'expression ^- St^, ou, abstraction faite du facteur constant St^, la vitesse même de variation ^ des dénivellations h sur les diverses verticales (x^ y). Et, en effet, si l'on différentie en t tous les termes de (2) et (3), puis qu'on pose dans les résultats, pour abréger, ^ = r, il vient
idv d /V Ti ^^^' K ^'^^^'\ ^^ / Iv H ^* Iv ^'^^^'\
^ di dx\ dx dx ) dvx dy dy j
dn) = "'
/ (au contour) [y ou
relations ne différant de (91) et (92) que par la substitution de p à SA.
43. Supposons maintenant la nappe, et lès données K, (jl, H, de formes telles, qu'une seule variable, dans VespacCy suffise (outre le temps t) à les définir, comme étaient soit l'abscisse a;, soit la distance r à l'axe, dans les cas de figures ou cylindriques, ou de révolution, que nous avons étudiées. Alors l'ordonnée de superficie, A, de la première nappe considérée, ordonnée à partir de l'extrémité de laquelle se
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 63
comptent, sur chaque verticale, tous les petits écarts possibles SA, pourra être choisie, à chaque instant t, pour cette variable même ; de sorte que 8h ne sera fonction de x et de y, à ce moment donné quelconque T, que par l'intermédiaire de h. Changeant aussi de fonction inconnue dans (91) et (92), nous substituerons à SA la quantité t définie par la formule
(94) oh = eJ''^'i,
de même qu'aux n°*20 et 33 nous avons appelé C * £ et C"*£ les écarts ; et, cela, encore afin de rendre monômes, dans (91), les expressions entre parenthèses. Nous aurons, en effet,
K '^'^'^'' = Y^trl^^ih — -^ -I- t — - ^^ ^^Y
d{x,y) ^' K d{x,y) ^^d{x,y) H-^hdix^y))'
formules d'où résultent bien, pour les deux parenthèses de (91), les expressions simples
^ ^ diXyy)
' L'équation indéfinie (91) deviendra donc (<.)5) .'
En la complétant par les conditions au contour f e ou ^ ] = o, on aura, en £, les équations de refroidissement d'une certaine plaque à
faces rayonnantes, dont la conductibilité intérieui^e, K(H -f- h)e J^^^^\
d -A — la conductibilité extérieure, [^;7:^ "^^j et la capacité calorifique,
r dh (jLe * ""^'', varieraient avec h et, par conséquent, tout à la fois avec la verticale {x^y) et le temps t.
46. Nous connaîtrons à ce système, si h est donné, la solution par-
ticulière où e J^-^'^i a la valeur^, c'est-à-dire v^ et où e admet ainsi Texpression
Or, écrivant Féquation indéfinie (90 ) avec e, à la place de £, multiplions par £ cette équation en £,; et, de l'équation même (93), multipliée par £4, retranchons les produits obtenus. Si nous appelons u le quotient de £ par £^, ou que nous posions
Ç dh
(97) £ = £,« = fy"'^*p//,
il viendra, pour régir w, Téquation indéfinie
(;,,.v/s^ ^ = ± [k(H + /,)rV ^T^^] ^J^rK(II + //,)c-.>/fi^'-^|
r/^- L ^ ' d.c dh \
ou bicm, en effectuant les differentiations comme aux n°® 24 ou 3iS, puis éliminant par (2) les diérivées, ^nxely^ de A, sauf dans (A< A)*-, et divisant enfin par K(H -+- h){^Jiy :
\\)\fj K(H -h h) ( A, A)« - \ d". dh d-z ) dh V dh)
Mais imaginons qu'on se déplace d'un instant à l'autre, en suivant sans cesse chaque valeur de h là où elle se produit, c'est-à-dire de manière que les coordonnées a?, y de l'observateur éprouvent sans cesse
des accroissements dx^ dy vérifiant la relation
d/i j d/i j dh 7
-5- at 4- :j-ax -h -rdy^ o.
at dx dy ^
La diflërentielle de u observée sera
, du j du ( dh y , dh t \ {du du dh\ ,
rf„ = ,;. H (^ rf^. + ,/^j = (^ _____ j ,/- ;
et, par suite, la différence ^ dJ TP exprimera la dérivée de u
constatée^ en quelque sorte, par Tobservatenr. Or, ce sera justement la dérivée partielle de u en t, ou calculée sans /aire varier h, si Ton convient d'adopter désormais t et /* pour variables indépendantes, au lieu de t, x et y. Ainsi» dans ce système de variables t et //, l'équation aux dérivées partielles en u aura la forme binôme^ déduite de (99).
Ooo) ( ^ ef^^ '^" == - (V^Js^^'V
Vioo; VK(ii 4-/0(^1 A)* ) dz dh\ "^ dh)'
C'est l'équation des températures successives u d'une barre se refroidissant, à faces latérales imperméables, qui aurait une conducti-
/' Hh j Ç dh
,^*.*t,v. ^ ^ "^* et une capacité calorifique, ^ .. '^^ wa /T» ^ S fonctions à la fois de l'abscisse h et du temps t; car non seulement r, mais même H (dont la variable immédiate x^ /•, etc. serait maintenant remplacée par son expression en h et t) dépendraient du temps t.
47. Dans le cas simple où//, H sont respectivement T'C, A!^, c'està-dire j J^, hX, d'où il résulte
r ^ ml h e^^^^ :== r* = (i^^ //^
. = /,^ = -/,(A-+r)^-— ^, c,= -^— ^j — J, et où, - (A.J;/ ayant, d'après (;53 ^Z^) (^n^ 24), la valeur -^^^C^- >
Journ. de Math. (•> série), tome X. — Fasc. I, 1904. 9
avec m maximum donne de ^ (lié à L), la fonction - (A, h)^ est
cette équation (loo) devient, vu aussi que -r; = — k']f ^i
(loo bis)
/mk^Y 2 ci ff.,^dii\ \i-^J h^ dh\" dhj
Comparée k l'équation très analogue (76) (n® 3B), elle a un terme de moins à son second membre, ce qui simplifie notîiblement celui-ci; mais, par contre, le premier membre se trouve aflecté du nouveau
coefficient ( \ j , fonction du temps. Son intégrale générale sera
donc encore la somme de deux séries, de la forme
A //* 4- li //*^' 4- C//«^« -h . . . ,
avec A, B, C, . . . fonctions de •];, et a toujours égal soit à zéro, soit à — I — 'h. D'ailleurs, Tannulalion obligée, pour i^ = o ou // = o, de la fonction £, produit £,^/ proportionnel à h^'^'^u, fera encore évanouir la seconde série et donnera pour u la formule
11=^. A -hli/r^-hCA'^H-....
Mais celle-ci ne paraît devoir présenter aucun avantage sur (81), à raison de la présence explicite de '^j;, dfins le premier membre de (100 his)^ d'une manière moins simple que dans celui de (76).
La nouvelle méthode, suggérée par l'équation (100), pour traiter le problème posé, ne semble donc pas conduire plus rapidement au résultat que la méthode directe suivie au § IX.
On remarquera que, dans le cas d'un fond plat, c'est-à-dire de k infiniment petit, où ']> =^ij elle donne à la première solution simple, £, , d'après une des formules ci-dessus, l'expression £, = — /<*, indépendante du temps. Mais, dans le même cas, elle a, comme on pouvait s'y attendre, le grave inconvénient de ne pas réduire les autres solu-
ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTREES DANS LE SOL. 67
lions simples à des produits d'une fonction du temps t par une fonction de l'autre variable indépendante, qui est alors //.
48. L'équation indéfinie (98), multipliée soit par Télément d(j=^ dxdy de la projection horizontale a de la nappe, soit par wrfj, et intégrée à la manière ordinaire dans toute l'étendue de cette projection, donne immédiatement, en tenant compte des conditions au contour, les deux formules
j (jiP^e*^"^''-^rf(7 = o,
J (jirV*^"-^^ ^ ^a = - / K(H -h h)i^cJ''^'^ (A, uydr^.
Les dérivées partielles de 1^ et de ^«^^ en t y sont, d'ailleurs, prises surplace^ c'est-à-dire dans le système des variables ic, y et t. Mais je ne vois pas comment l'on pourrait tirer de ces formules des résultats simples, en dehors du cas particulier, étudié au § VU, d'un fond horizontal, cas où H = o et où A, r, u ont les formes respectives
produits de fonctions des coordonnées par des fonctions du temps. Dans ce cas particulier, les deux équations (101) deviennent immédiatement
(loi bis) <
i (p ^ 2)fi,:cn]'da=fKi'(à,i]ydrr',
et la seconde montre que la différence ^ — 2, rapport de deux intégrales à éléments positifs, est essentiellement positive elle-même, sauf
quand on a
A|U = o, U = const., P = 2,
tandis que la première prouve la nécessité, pour toute solution simple différant de cette solution fondamentale où ^ = 2, de changements
68 J. BOVSSINESQ.
de signe dans Telendue a du pLin de la nappe, puisque la valeur moyenne de Texpression [xî^^U s'y annule.
On peut en dire autant de la formule que donne la première de ces relations (loi), quand on appelle w, dans (98), le quotient de deux solutions particulières quelconques £, e, de Tequation indéfinie (qS) et des conditions au contour qui lui sont adjointes, cas où Téqua-
tion (98) {i^arde la même forme, Isauf la substitution de ejf?*^"^* à
j.a^,t/H+/i Qçii^^ première relation (10 1) est donc alors
(102) I [Lt^e ^"^-'' -^(hzzL o,
c'est-à-dire
( 1 02 />/ v) / jjL^'""»/ hTÂ U, -7^ — £ ^j d^ = o.
Toutefois, il importe d'observer, dans la démonstration, que le second membre de l'équation (98), modifié comme il est dit, donne alors l'intégrale de contour
j\{^^hyi^H\'^d;,
à prendre non seulement à la limite de Taire totale a, mais encore le long des lignes intérieures (rfe discontinuité) où, £< changeant de
signe, le quotient w devient infini. Heureusement, le produit e^j^»
ou ^i;7" ""S^' y reste fini et, sans s'y annuler comme au contour
proprement dit, a deux valeurs exactement contraires, sur un même élément rfy , dans les deux régions y aboutissant. L'intégrale totale est donc encore nulle.
Mais il n'en serait plus de même, pour l'intégrale analogue, si Ton voulait généraliser pareillement la seconde équation (toi). Car, alors, l'intégrale à prendre le long des lignes intérieures de discontinuité aurait un facteur u de plus sous le signe /, ou serait
/K(H-H/Oc-/'^(s.â-e^)«rf/,
ÉCOULEMKNT DES NAPPKS d'eAU INFILTREES DANS LE SOL. 69
La fonction sous le signe / devenant ainsi infinie, il n'y aura pas, comme on voit, une formule simple, à deux termes seulement, généralisée de la seconde (loi).
Celle-ci n'est donc démontrée que sous la condition, vérifiée dans tous les cas traités ici, que la solution appelée e, ait essentiellement même signe partout, k l'intérieur de l'aire a, c'est-à-dire qu'on ait (^ < o dans (96), ou que la nappe (à ordonnée //.), à partir de laquelle se comptent les petits écarts oh, s'abaisse, continuellement, dans toute son étendue (*).
(^) La démonstration de riiniformité de signe (sans annulation à l'intérieur) de certaines solutions particulières, qu'on peut dès lors d^ppeler fondamentales, dans le problème du refroidissement, démonstration donnée au n*' 130 de ma Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie avec la Thermodyna^ mique, etc, (t. I, p. 254), subsiste, sans aucun changement, quand la conductibilité intérieure, la conductibilité extérieure et la capacité calorifique deviennent fonction du temps, pourvu que la conductibilité intérieure et la capacité aient même signe, comme il arrive justement, ici, dans Téquation (96).
La présente discussion montre qu'il pourrait y avoir quelque intérêt à reprendre certains Chapitres de la Théorie analytique de la chaleur dans cette hj'pothèse de corps dont les propriétés calorifiques dépendraient ainsi du temps.
Je m'aperçois, par exemple, que la seconde équation (101), facile à étendre à tout corps de contexture symétrique (ou admettant un potentiel des flux de chaleur) età surface ou intérieur rayonnants, démontre l'existence d'une expression asymptotique unique pour l'intégrale générale e, c'est-à-dire la tendance de son quotient u parla solution fondamentale S| vers une valeur uniforme et constante. Car elle fait voir que, si le paramètre diflérentiel A^a conservait indéfiniment des valeurs sensibles, la dérivée en t du carré a' garderait aussi, indéfiniment, sa valeur moyenne (convenablement définie) dans tout l'intérieur du corps, négative et de grandeur notable; ce qui est impossible, puisque ce carré ne peut pas s'abaisser au-dessous de zéro. Donc la seconde équation (ici) implique bien que, pour z assez grand. A, u tende vers zéro, ou u vers une valeur C uniforme et, dès lors, invariable. D'où il suit que l'expression asymptotique de e sera nécessairement celle de Cfi, ou, encore, qu'iY n^y a qu'une seule solution simple fondamentale distincte,
La démonstration se précise, quand les propriétés calorifiques du corps deviennent indépendantes du temps et que e, z^ se réduisent à deux solutions simples. Car alors l'équation considérée prend une forme analogue à celle de la
'jO J. BOUSSINESQ.
C'est l'équation (102) qui rend possible la méthode d'élimination de Fourier (pour le calcul des coefficients arbitraires c affectant les diverses solutions simples), quand e et £, sont les produits de fonctions différentes^ T,T,, du temps par des fonctions, v^ r,, de J^. Car, si Ton a
£ = Tp, e, = T| p, , avec ^ non constant, elle revient immédiatement à
/r dh n ç dk
Dès lors, l'intégrale générale en série
ç dh
multipliée par \xtd^ et intégrée sur toute la projection horizontale a* de la nappe, donne simplement
dh
f }xt(}h)ch = c f \keJ^^Wdfj,
équation d'où se tire la valeur de c, pourvu que l'on substitue à £ et à Zh leurs valeurs initiales, censées connues,
Pour revenir encore au cas général où £, £, ne sont plus des produits de la forme Tp, T|P,, tout ce qu'on peut, ce semble, y déduire de simple, des relations (loi) et (102), c'est que le rapport u de deux solutions distinctes a sa dérivée par rapport au temps t de signes variés aux divers points du plan a de la nappe, ou qu'il grandit dans certaines
régions pendant qu'il diminue dans d'autres; et que le demi-carré —
du rapport de l'une quelconque, non fondamentale, de ces solutions, à une solution fondamentale {de signe uniforme sur toute l'aire a), a sa dérivée analogue en t négative sur une étendue /rfo* notable, de
seconde (101 bis) et exige, comme on a vu après celle-ci, un évanouissement plus rapide pour e que pour &|, si Aji/ diffère de zéro.
Ainsi se trouve complétée et généralisée une question restée jusquMci, au moins partiellement, en suspens (voir ma Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie avec la Thermodynamique ^ etc, t. 1, p. 255).
manière à décroître pendant que le temps <r grandit. En d'autres termes, les solutions particulières non fondamentales s'évanouissent plus vite que les solutions fondamentales. Quant au cas où u désignerait le rapport de deux solutions fondamentales toutes les deuxj ce rapport y tendrait, sans doute, assez vite vers une valeur constante, pour rendre négligeables, tout à la fois, A, u dans le second membre
de la deuxième relation (loi) et la dérivée en t de — dans le premier membre.
§ XI (^). — Application de la théorie à deux sources de la Vanne étudiées par M. Edmond Maillet.
49. Au moment où se termine l'impression de la présente étude, M. Maillet vient de faire connaître le coefficient a de tarissement de la source de Gérilly, dont il est question au n*^ 11, et qui a, durant le semestre d'été, des débits moyens compris, suivant les années, entre i5o litres et 200 litres environ par seconde. Ce coefficient vaut, à très peu près, 0,1066, lorsqu'on prend le mois pour unité de temps (^).
Quanta la source d'Armentières, pour le moins triple de celle de Gérilly, et dont il a été parlé également au n** H, M. Maillet représente ses débits Q, toujours en litres par seconde, durant la saison chaude, et les temps t étant comptés de même en mois, au moyen de l'expression empirique, très approchée,
(io3) . . Q=.i58,8-hp— ^^^ (^> ^ ^ ' (1-1-0,12^)- "^ ^
(*) Ajouté au Mémoire en décembre 1908, après le tirage des feuilles précédentes.
(') Comptes rendus de l* Académie des Sciences de Paris, t. CXXXVII, 3o novembre 1908, p. 947. On voit encore, dans la même Noie, qu'il y aurait un coerficientae de tarissement également constant (valant o,o38o d'après une Communication officieuse de M. Maillet), pour la source de la Dhuis, dont les débits d'été varient entre 270 litres et 170 litres, et qui alimente Paris comme celles de la Vanne, mais sur la rive droite de la Seine.
(') Je dois la connaissance de cette formule, encore inédite, et des autres résultats d'observation, concernant la source d'Armentières, mentionnés ci-après,
72 J. BOfSSlNESQ.
Abstraction faite du terme constant i58,8, elle rentrerait dans la formule que nous avons obtenue pour le cas d'un fond horizontal contenant le seuil de la source; et elle a été suggérée justement à M. Maillet par cette formule, à laquelle Tavaient conduit de son côté certaines considérations théoriques (').
SO. Mais ce terme constant i58,8 est beaucoup trop grand pour pouvoir être négligé. On pourrait, à la rigueur, Texpliquer en admettant que la source d'Armentières provient de la réunion de deux distinctes, dont la première, d'un coefficient de tarissement insensible, donnerait la partie constante du débit, tandis que la seconde, à bassin plat ayant son fond au niveau du seuil, fournirait la partie inverse de (i -ho, 12/)*. Mais il semble naturel de recourir, de préférence, à l'autre explication, plus vraisemblable a priori, annoncée vers la fin du n® 11. On n'est pas surpris, en effet, qu^me source aussi forte mette longtemps à se régulariser, et que plusieurs mois, sinon même
ù uoe obligeante Communication de M. Maillet, qui a, d^ailleurs, fait porter ses études sur les deuv sources de Cérilly et d'Armentières, de préférence à d'autres de la Vanne tout aussi fortes, parce que ces deux-là sont tes moisis constantes et semblaient, dès lors, les plus propres à manifester tes tois de variation des sources du bassin. L'idée d'introduire le terme i58,8 dans la formule (io3) lui est venue d'une relation approximative,
qu'il a constatée entre les deux débits minima (chaque année), A et C respectivement, des deux sources d'Armentières et de Cérilly. Cette relation approximative entre A et C conduirait, si Ton admet la simultanéité des minima annuels pour les deux sources et leur production au bout du temps « = 6, à faire correspondre à la formule (io3), concernant la source d'Armentières, l'expression Q = 3i2e~^****', pour celle de Cérilly. Cette dernière expression paraît, néanmoins, un peu forte, et le coefficient 3i2 devrait s'y réduire à 280 environ. Il n'y a guère à cela de difficulté, la relation ci-dessus entre A et C n'étant donnée par M. Maillet, dans sa Note du 12 mai 1902 Sur ta prévision des débits minima des sources de ta Vanne {Comptes rendus, t. CXXXIV, p. iio3), que comme approchée à un dixième près.
(*) Comptes rendus de t' Académie des Sciences de Paris, t. CWXVII, 27 octobre 1903, p. 676.
KCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INULTHÉES DANS LE SOL. ^3
un semestre entier, soient nécessaires, après les pluies cPhivcr, pour y faire évanouir ou, du moins, rendre insensible le second terme de la solution complète en série d'exponentielles, indiquée par le procédé d^intégration, dû à Fourier, de l'équation approximativement linéaire du mouvement. Alors, si ^ est lo coefficient d'extinction dans Texponentielle affectant ce second terme simple, le débit prendra la forme binôme
(loi) Q = Ar-*'-*- Bf-P'.
Pour revenir à une hypothèse indiquée ci-dessus, mais l'appliquer dans des conditions moins particulières, il ne serait pas, non plus, improbable que, toujours à raison de son gros volume, la source d'Armentières fût multiple y c'est-à-dire résultât de la jonction de plusieurs sources, à bassins d'alimentation contigus. L'écoulement, en temps de sécheresse, s'y expliquerait alors par la superposition de tous les systèmes de solutions simples convenant à ces bassins respectifs, avec réduction plus ou moins rapide de chaque système à son terme fondamental; et l'on aurait ainsi pour Q une expression encore de la forme A^-^'-t- B^~P^-f-. . . .
Au fond, ce cas est compris dans le précédent, dont rien n'oblige à restreindre la généralité; car plusieurs bassins à débouché commun peuvent être regardés comme constituant un bassin plus général, pourvu du moins que leurs seuils (rêcoulejnent se trouvent, comme nous l'avons admis (n*^ 8), à un même niveau ; et le terme fondamental propre à la deuxième source partielle, celle dont le coefficient ^ de tarissement viendrait, quant à la petitesse, aussitôt après a, ne serait alors autre que le second terme de la solution de Fourier pour la source totale.
51. Raisonnons dans les hypothèses les plus sunples, en vue de nous y borner si leur confrontation avec les faits prouve qu'elles suffisent. Or ces hypothèses sont celles d'une source unique, avec profondeur H et largeur L de son bassin d'alimentation constantes, comme au n** iO. Les coefficients d'extinction a, p, . . . des exponentielles successives se trouvent alors proportionnels à la suite des carrés impairs 1,9, . . . , (2f -f- 1)% ... ; et l'on a p = c)ol. 11 est, de
Journ. de Math, (5« série), tome X. — Fasc. I, igo'i. lO
plus, probable que a diffère peu du plus faible décroissemenl mensuel relatif de Q, constaté à la fin des semestres d'été, décroissement reconnu, par M. Maillet, égaler o,o366 ou, sensiblement, 0,087, en se bornant à trois décimales. Il y a donc lieu d'essayer les valeurs
a = 0,087, p = Qa = 0,333.
Nous déterminerons enfin A et B, dans (io/|), par les deux conditions que cette formule (io4) donne la valeur initiale convenue 898,8 et, en outre, la même valeur moyenne que (io3) dans l'intervalle pour lequel les deux formules doivent être employées, c'est-à-dire, sensiblement, entre les deux limites / = o, / = 6. Or, en multipliant (io3) et (io4) par dt^ puis intégrant de zéro à / et divisant par /, il vient, comme expressions de ces deux moyennes.
(,o5) ,58,8+ -2^, XL=J^+^'^
OÙ il faudra faire / = 6, a =10,037, ^ = 0,333. La première étant alors 589,03, et, d'ailleurs, l'expression initiale de Q se réduisant, dans (io4), à A -f- B, nous aurons donc en A et B les deux équations
Leur résolution, avec l'aide d'une Table de logarithmes à cinq déci- . maies, donne A = 43 1 , 32 et B = 467, 46.
Ainsi, l'expression, à deux exponentielles, qu'il s'agit de contrôler, sera
Il en résulte :
Pour
tandis que la formule empirique (io3) prend les valeurs, à peine différentes,
Qr:: 898,8 748,7 64o,. 559,6 496,6 447>9 4o8,9.
D'après une remarque de M. Maillet, touchant la légère imperfection de la formule (io3) aux environs de / = i, où elle se trouverait être un peu trop faible, l'expression (io6) paraîtrait préférable; elle serre, en tout cas, de fort près les résultats observés. Or elle deviendrait encore plus précise, si Ton y faisait subir à a, p, A, B de petites corrections, par rapport auxquelles Téquation (lof) pourrait être censée linéaire, et si l'on déterminait ces corrections de manière, d'une part, à laisser égale à 898,8 la valeur initiale, d'autre part, à rendre, par exemple, nul en moyenne l'écart de la formule d'avec les résultats observés, dans chacun des trois intervalles compris respectivement entre / -■= o et / = li, / = 2 et ^ = 4? ^ =^ î et / = 6. Mais on voit que de pareilles corrections seraient superflues, au moins actuellement.
t$2. Le second coefficient, B, de la formule parait donc bien être, pour la source d'Armenticres, un peu supérieur au premier, A. \]i\g telle circonstance semble indiquer, dans la nappe d'alimentation de cette source, considérée vers la fin de la saison d'hiver ou le début de la saison d'été, au moment où le débit Q passe par la valeur 898,8, une forme bombée à une certaine distance de la ligne de faite, c'està-dire vers le milieu, plutôt que sur le faite même du bassin; de manière qu'après avoir ôté, des ordonnées /t, d'abord croissantes et ensuite, peut-être, décroissantes, de x* = o à x = L, le premier terme de leur développement en série trigonométrique, terme partout positif
et proportionnel à sin— .-1 l'on ait un excédent se rapprochant de la
forme du second terme de la série, d'abord positif puis négatif, où le
facteur fonction de l'abscisse x est sin^— ^«
11 est aisé de voir, en ett'et, comment varie initialement^ à partir du thalweg de la source où x — o, eu allant vers le faîte où x = L, Tordonnée superficielle A, supposée ainsi de la forme
(107) h=-C (e-^' sin ^ H- c 6-»« sin ~ ) •
Le débit Q, ou A^r*'-f- B<r"'', se trouvant proporlionuel à la
^G J. BOLSSINESQ.
penle -7- do supcrlicic pour x = o, Ton aura
el rordoiinôe initiale h variera, du thalweg au faîte, comme Texpressioii
(.XV •TTwt' «OTw JC • Tfc JC » 1 . • «1 • O »• «X"
100) sin — î- 4- c'sin — î— = siii — r -+- o, JbKisin —y-.
^ tîL 2L îîL ' 2L
Or celle-ci, partie de zéro, atteint successivement, d'abord, son maximum, puis, finalement, un minimum, pour les deux valeurs
respectives de la variable ^ qui amuilent la dérivée
/ V T.x o Zt.x [ ,::./• oc — i\ t,x
( I on ) cos — r 4- J 6' cos — î^ = \\KC\ cos' — i cos — r ?
^ -' ^ 2L 2L \ 2L 12 c / aL
c'est-à-dire qui donnent
l cos —r = ( soit i/- > soit zéro ) »
