I -f- -^^2{z - z,)dz, -< dzl

L'intégrale relative à l'angle polaire a donne sic (constante sans importance). Il reste à intégrer cette dernière expression par rapport kz.

i46 R. d\dhémar.

Intégrons, par parties, le premier terme. L'on obtient (*)

- i(z ..-*.). log f^3?^ii^ + ^(IJ^pT]

il faut ajouter l'intégrale du deuxième terme

Laissons le terme tout intégré et réunissons les deux intégrales précédentes; cela donne, pour élément différentiel,

= 1 3(;; - -.)[2(^ - -o)^^o - dzl] -(z-z.- dz.ydz. |

6^2{z--Zo)dz^—dzl

Les termes en dzl et dzl dans le crochet donnent naissance à des

termes en dzl et dzl qui ne jouent aucun rôle puisque, pour avoir la dérivée, on divisera par dz^j et il reste à considérer

r"^ 5 (z^zo^dz, h^^I^JhT r' (^-^.)'dz Ici encore nous n'avons à conserver que

le reste étant d'ordre - au moins en dz^.

(^) En efTei, le terme soustractif de la partie inlégrée est nul, car, si Ton 'pose

z — Zq — dz^'=i e, Ton doit avoir

isl-'°*['-^-\/C-^)'-Ji=°-

SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l/j?

Nous obtenons en somme

'kdzl

- i(z - .. - rf,.).iog[j^^^ + ^/(ij^^ijr,]

Développons en série, en posant w = Z — Zo,

|(rrs)'-f=^v^i-r^-S(vy--|.

Or

log(i4-a;) = y -^-h....

D'où, pour le logarithme, ce développement :

Si l'on multiplie par — g (a — dz^y et que l'on tienne compte du

troisième terme en y/dzl, l'on voit que l'on a en facteur {dz^y dans la somme des deuxième et troisième termes. Tenant compte du pre-

mier X(û?z^)*, Ton obtient en somme, [x kl^ni fini quel que soit rfzo, Ja= V'idzJ^fffFWj.dxdydz.

(A'ft'C)

Le second terme est seul à conserver et l'on a

H =fffF(x, y, z) [y,{x, y, z) - V,.(x, y, z)] rfx.

Journ, de Math. (5« série), tome X. — Fasc. Il, 1904. ^^

l4S H. d\dHÉMAH.

Remarquons maintenant que l'on peut écrire :

^k(^, r. -) = VA.(a?, y,z + dzo), d'où

Lorsque dz^ s'approche de zéro, A' vient en A, V^^. devient V^^, et l'on a

(Abc) ikùc)

résultat assez surprenant par sa simplicité.

D'ailleurs -3-^ ayant un signe constant, on peut écrire

{kbc)