ABC
OU enfin
u(x„y,z,) = -F(l,ri,K)K'-(Z-z,y (o<e,<i).
2. Étude de V intégrale diaprés une formule d'Ostrogradski. — Gomme nous le disions, il serait assez long d'étudier directement les dérivées de
"(^o,ro7-o)-
(*) Pour être rigoureux, on ne peut appliquer cette formule que dans une ré-
gion où Va' et — t~ soient finis.
Or la première fonction est infinie sur la verticale passant par A' et la deuxième est infinie sur le cône A' B'C. On isolera donc la verticale par un petit cylindre vertical et le cône A'B'C par un cône ou un hyperboloïde intérieur à ce cône. Dans les petits volumes ainsi isolés, on remplacera (Va — Va») par aVA' et l'on verra que Vinfluence de ces volumes infiniment petits est nulle.
SUR UNS CLASSE d'kQUATÏONS AUX DERIVEES PARTIELLES. l/|9
Nous allons donc reprendre tout ceci en faisant usage d'une formule, convenablement interprétée (*), d'Ostrogradski.
Établissons, d'après M. G. Jordan (*), la formule d'Ostrogradski, simplifiée pour notre usage. Soit
l=JJJ<f(x,y,z)dxdydz',
le champ d'intégration W, comme <p, dépend d'un paramètre X. I4-AI= j f l((f-h A^)dxdydz.
Nous voulons calculer
Pour cela, amenons les deux intégrales à avoir même champ d'intégratiofn. Nous y arriverons en faisant correspondre à tout point (oj, y, z) de (W + AW ) un point (X, Y, Z) de W par les formules :
apec la condition que la transformation vaille pour passer d'une frontière à l'autre. Ç, y), î^ sont des fonctions infiniment petites assujetties à cette seule condition.
Alors
l-hM=fff^JdXdYdZ,
(*) Noie de l'auteur dans \e% Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1902. •
(*) Cours d'Analyse, a* (êâition, t. Ill, p. 53o. Paris, Gauthier-Villars.
d'adhém\r.
J étant le jacobien,
àY
dZ
an
dZ
dX
dY
V étant la fonction 9 4- Ac exprimée en X, Y, Z.
On a
T di dT\ dZ » p
'^ = '-^-âx-+-âY-^5z-^^"f-P*'*»'-
Or
?(^,r,0 = ?(X,Y,Z) + $â-Hr)^ + î:^-h... et
àf(x, y, z) = à<f(X, Y, Z) +. . .= ^AX +. . .. Donc
Enfin, Ton a
c'est la formule cherchée. Appliquons-la. Soit
W=Abc.
Pour avoir la dérivée par rapport à ^^ > faisons
Alors
X == Zo, AX = Azo = AA'.
W-f.AW = A'i^'c'.
Soient S" et S' les surfaces obtenues en abaissant S respectivement
de AzJ et AzJ-h Az^)
vol. A'^^'c = vol. A'b\ c\ -h vol.'(6'c', 6; c\),
SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. l5l
nous ferons correspondre A'b\ c\ à A py de W par les formules
$^0, ^^o, î^ ^ A^o = const. Puis nous ferons correspondre (b'&^b\c\) à (6c, Py) de W ou, aux
Fig. 3.
^(i-o^Jfc.^.)
infiniment petits d'ordre supérieur près : (6"c*, b\ c\) à (b"(f, py) par les formules
$^o, ri^o, î; = (Z, - Z)^^-^.
Z| étant la cote d'intersection de la verticale du point [avec S. La formule (i) donne ainsi
La deuxième intégrale donne une intégrale de surface A^o // (fdKdY.
La troisième intégrale donne, de même, une intégrale de surface
1 52 R. d\dHÉM\R.
étendue à be qui est nulle, puisque alors Z, ~ Z = o et une intégrale étendue à ^y
"11^ ^^ù dX rfY,
(•orf.PY)
puisque, sur ^y, l'on a
Z| — Z^A^o-+- AsJ.
Nous obtenons, en somme, en remplaçant maintenant X, Y, Z par
ikbc) (cAMÂbc)
formule fondamentale dont nous allons poursuivre Tapplication.
5. Expression de u{x^^ y^^ z^). -^ Posons <p = FV^, ç étant nul sur le cdne^ nous avons de suite
expression obtenue directement (n** H).
4. Expression de -r— J u{x^j y^, z^) \. — Soit posé ici ç = ^"T^* on a
[kbo [c^nkbc)
La formule ne doit pas être appliquée brutalement, mais, l'élément différentiel devenant infini sur le cdne Abc^
je regarderai ce cône comme la limite, pour e = o, de l'hyperboloïde
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l53
D'ailleurs, -^ et -^ ayant toujours le même signe dans le domaine intérieur au cône, nous pouvons d'abord faire sortir F de l'intégrale; ensuite majorer en remplaçant S par H, le plan horizontal le plus haut, de côté Z, ayant un point commun avec S. On a
(A6c) (ABC)
= 21:/ (5 — Zo) — ^ î -Adz
= 2ir / dz — —! {z — z^)dz.
Pour le cône, nous avons encore
ikbt) (Air.i
Nous considérerons le cône comme la limite de l'hyperboloïde
d'où
£ = lim(-') et ffdxdy = -^{Z-z,y
(puisque la normale extérieure fait, avec Ozj un angle obtus). En somme
2it A« = Az, je,F($, Y], 0[2ir(Z - ;p,) - ^(Z - z.)']
-HeiF($',yi',î:')î(Z-M'|,
avec o ^ô^^ I , o << 6'^ <[ I (puisque Ton a remplacé Abc par ABC), (5> ^j 0 étant un certain point moyen du volume A 6c et ($', yj', C') un point moyen de la surface du cône Abc.
1 54 H. d\dhémar.
Choisissons e et e' tels que les deux infinis se détruisent et il reste
(Z est la cote du plan majorant H). Mais le fait de prendre ainsi les deux infiniment petits e et t' tels que les deux (ermes infinis se détruisent peut paraître artificiel et laisse subsister un doute. Je vais donc montrer autrement que le coefficient de Az^ est bien fini. On a
ôz^ \ dz^J dz^ dz dz \ dz^J car, évidemment,
dz dz^* âzo '
d^où f f f y premier terme du coefficient de Az^, est égale à
{kbe)
{khc) (kbc)
(Kbc) (tAtfkbc+tmtt.bc)
Le coefficient de tiz^ est done
fffS-.^''^-fK.'^''r'
(Abc) |6r)
et Ton voit bien que les deux intégrales infinies sur le cône Abc se détruisent.
On peut, d^ailleurs, en majorant les deux intégrales ci-dessus, ^ retrouver la forme de la dérivée relative à z^.
