Expression de j— ^(^oj^'a» ^o)« — Pour obtenir la dérivée

en or^, ou eny^^ nous emploierons la même formule d^Ostrogradski, adaptée d'une manière un peu différente. S étant la surface qui porte

SUR UNB CLASSE D^EQUATIONS AUX DEBIVRES PARTIELLES. l55

les données (nulles), S' et S'" seront les surfaces résultant d'une translation parallèle à ox et égale respectivement à (Aa?o -+- Aa;J) et à ^x\. Il est inutile de tout répéter, soit

'=ffM-

{Abr)

L'on trouve

\ (Abc) [càMAbc)

\ (Abc) (eôneA^)

L'on verrait, comme au ''n® 4, que le coefficient de Ax^ est la partie finie de l'intégrale de volume, car il y a deux termes infinis sur le cône Xbc qui se détruisent exactement. Mais, si l'on remarque que l'on a

d^y — rcosa

l'on constate que cette fonction est négative à droite du plan parallèle à zoy passant par A, positive à gauche de ce plan. Il faut donc appliquer séparément le théorème de la moyenne dans chaque région, en même temps que l'on majorera par le plan H de cote Z. Donc

ikhc)

(Age) (Affr)

en majorant, nous prendrons les intégrales dans les volumes AGC et AGB qui, par la formule de Green, donnent des intégrales de surface :

I** Dans le plan AG, on a y- = o;

Journ. dé Math, (5* série), tomeX. — Fasc. II» 1904. ^ '

R. D ADHKMAR.

2** Sur le cône ABC, on a des termes infinis dont, on Fa vu, il n'y a pas à tenir conapte ;

3** Nous avons enfin des intégrales étendues au cercle BC :

^{^o,yf,x^) '^'

Pour la première

/cosotd» f — ( - "^L= /• dr Jo rv/(Z~5o)*-'-*

= / cosarfa(Z — :;,,)[arcsin(o) — arcsin(i)] = — ^[Z — z^]^

et pour la seconde, les limites pour a seront - et —, d'où

-hir[Z~Zo]; en somme

(les deux coefficients 6 sont compris entre o et i , égaux à i lorsque bc se confond avec BC) Enfin

<^rc

Il est bien assuré que nous avons une expression analogue pour "(^o?7o5 -o)j par symétrie.

SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l5y

Remarque. — L'on peut calculer les trois dérivées secondes; Ton trouve, pour chacune,

O.F($, rj, 0,

6 ayant une limite supérieure facile à évaluer.

6. Conclusion. •— Il résulte de tout ce qui précède que l'intégrale et ses dérivées premières prennent les valeurs données zéro lorsque (^ojJKo) ^o) vient sur S si (Z — z^^) tend vers zéro, lorsque A se rapproche indéfiniment de S. Ceci a lieu s'il y a unicité de section de S par tout cône A et si les plans tangents de S sont inclines à moins de 45** sur le plan xoy.