CHAPITRE III

ÉTUDB DB l'iNTÉGRALK, LES DONNÉES n'ÉTANT PAS NULLES A LA PRONTIÈEB.

Nous devons maintenant prendre A(;/) = o avec des données non nulles sur S.

L'on peut faire d'abord une remarque du plus haut intérêt.

Comme dans le cas de l'équation hyperbolique à deux variables, cas traité par M. Picard (*), il faut d'abord qu'il y ait unicité de section de S par tout cône A.

Ceci exclut les surfaces S présentant certaines ondulations dans leur forme. Mais, en plus, l'on constate immédiatement ceci, c'est que les surfaces S ne doivent avoir aucun plan tangent incliné à plus de 45® sur le plan xoy. Sinon, en effet, soit un point A infiniment voisin d'un point (i) de S, le cône A du point A découperait dans S une aire finie et donc, certainement, la valeur de m en A ne dépendrait pas seulement de la valeur m, (^).

Réservons donc, pour l'instant, le cas où les données seraient

(*) Bulletin des Sciences mathématiques , 1899. ^^^'' «lussi : J. Hadamard, Note sur V intégrale résiduelle (Soc. math, de France, 1901.

(•) Par exemple Von ne peut prendre pour S la surface étudiée par M. Volierra (p. 317), savoir : une portion de cylindre vertical limitée supérieurement par un plan horizontaL

R. DADHEMAR.

portées par un cône A* et étudions l'intégrale à la frontière. Cette étude étant difficile nous prendrons d'abord pour S un plan P.

1 . Étude de V intégrale à la frontière pour des données quelconques portées par un plan. — Par rapport à des axes passant par A, soit

z' = ax' -h by -h q

l'équation du plan P portant les données. L'on sait que l'on a

parce que le plan P doit avoir une inclinaison sur le plan horizontal moindre que 45**.

Fig. 5.

^K.M»,*ii)

Nous étudierons donc u^x^^ y^j z^) lorsque le point A(a;^, y^j z^) vient sur P.

L'on voit que lorsque A s'approche d'un point (i) de P, q tend vers zéro. Ceci est fondamental à remarquer.

Reprenons la formule qui donne l'intégrale

le champ d'intégration étant l'aire de P intérieure à A. Soit, en général,

I =JJ(f(xjy)dxdy.

SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DÊRIYÉES PARTIELLES. iSq

L'on verra (!!• Partie, Chapitre I, n** 3) que l'on a

^I =//[^î ^- ^(?0 +^(T^)]^rfr• Comme les deux derniers termes donnent une intégrale étendue au bord de l'aire

J(f.X'dli

l'on voit que si ç s^ annule sur le bord, l'on obtient la dérivée de I en dérivant la fonction f sous le signe; mais si la fonction ç ne s* annule pas sur le bord, en particulier si elle devient infinie, il n'y a aucun intérêt à scinder en deux parties V intégrale AI. Donc

en posant

Y Ç Çdu da

a, désignant la constante, valeur donnée de u en (i) sur P. Mais la formule de M. Volterra représente l'intégrale du problème, si elle existe.

Ceci nous donne aussitôt une identité importante :

Nous allons donc prouver que J, d'une part, et d'autre part

tendent vers zéro, lorsque A tend vers (i).

i6o R. d\dhémar.

Étude de J*

2. En désignant par (<p)|| une valeur moyenne de la fonction ç dans un champ, Ton a

où Ton a posé, pour simplifier,

Or l'intégrale / / -^ est facile à évaluer (*); elle contient q en

facteur.

Donc Jj s'annule avec q.

Voici un premier résultat obtenu.

Étude de J,.