Considérons Jf
cos(/i, r).
K Le premier terme ^ donne une partie de J,, qui tend vers zéro avec q.
En effet les quantités
l62 R.. d\dHÉMAR.
sont /inies et les dérwées de u sont supposées finies sur la surface P, et Ton a vu que
tend vers zéro avec q.
Considérons le deuxième terme de ^ et ne gardons sous le signe d'intégration que
qui a un signe constant.
Sur le plan P on a
(m = a cosû) -h 6 sinco et I m I •< I parce que a* -h 6* •< i). Il reste donc à considérer
Ceci comprend d^abord
qui tend vers zéro avec q ; puis
Il faut montrer que l'intégrale placée devant q reste finie. Écrivons
y\ — m* r(i — m}) — mg
en posant
ou
du = - — — dr.
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. l63
Laissant d'abord (o constant (c*est-à-dire m = acoso) -h ôsinco = const.), nous avons une intégration en u
I r du
\/\ — ni^ J y/i — u^
entre les limites w = i , w = — m. Cette intégrale est finie.
Puis il faut intégrer en o) et, comme on a j — m*:^ o, cette intégration donne encore un nombre fini.
Donc J, tend vers zéro lorsque A tend vers le point (i).
if . Considérons J 5 .
Prenons d'abord le dernier terme
J {u-^uy^^^-^\rdrdi^.
Jusqu'ici nous n'avons nullement fixé les variations de \ et y), qui
Fig. 6.
sont simplement astreints à coïncider à la frontière avec les variations de Vx et de Yy de la frontière.
Nous pouvons poser
Ç =r pCOS(0,
Y) = - p sm (0
et prendre p identiquement nul dans Taire, sauf dans une couronne touchant le bord de l'aire et intérieure à Taire, comme cela a été indiqué déjà.
p contient, en tous cas, tiz^ en facteur, de sorte que -^ (— "^ ^ )
est fini comme t— et -^*
ei ^'
Journ, de Math. (5« série), tome X. — Fasc. Il, 1904.
i64 R* d\dhémar.
Dans ces conditions, le dernier terme de J- donne zéro lorsque q tend vers zéro\ et ceci résulte de l'étude de Jo- Prenons ce qui reste de J5, soit
a\ + b-ti d fT'
ASa
TT = K + - — — cos(«, r) ;
cosft) = -, sina) = =^^ =^>
d'où
<;5o VR/ <^- VR/
— (s — «0) ' cos(/i, r)^
sino)
oy \t\/ or \n/ D'ailleurs
^(r) = 57(rJ'
^(r) = ^R5' [r ^"«os(". 0] = R ^ ^[cos(«, r)]
= ^/^cos(n, r)KïCOsco -f- gCOs(/i, r) — ^".^ ^^^coso)
-^R-T-dit*^^'<"''')l-
D'après la forme de cos(n, r) ses dérivées x et y contiennent - en facteur.
SUR UNE CLASSE d'ÉQUATIOKS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l65
L'on a
cos(n. r)= , ""' =(qcos(o 4- èsinto),
, » • aiax— Xfi)-i- biy— Yo)
5^[cos(/i, r)]+ri^[cos(n, r)]
coso)^ 4- sina)^J = - - - = o.
Le coefficient de (a — «,) dans J, est donc
■h " ^""cos(/ï, r) jr-(cos*^ci> 4- siii'o))
5 — 5o cos(/i, /•) / ', • ., \ ^ — ^^:ï^— ^(cos'(o4-sm=*(o)
