I .s — Za ni — ni'\ c'est-à-dire
J-[k + illi2cos(n, r)][(z -.-„)- ^m(;; -V)]
I cos(/t,r)/^ p \ I cos(/i,r) p ,^ ^ v
OU bien
^. [k + i:^-cos(«, r)] [(.-..) - A ^(, ,.) ^ A.,]
Représentons les trois termes ci-dessus par H,, Ha, H3 etreportons-
i66 H. d\dhémar.
nous aux valeurs de J 5 et Jq dont J, est la somme. Posons
ôx "^ dy V
D'après ce qui a été dit, nous avons Tidentité
d'où
const. = yy (H, 4- Hj -h H5 H- H4) rfa,
puisque, si Ton fait w= i , tous les termes de J, disparaissent.
Or les parties de cette intégrale relatives à Hj, H,, H^ ont un sens y c'est-à-dire que les portions d'intégrales voisines de l'axe r = o et voisines du cône z — ^^ = /' donnent zéro à la limite quand on fait évanouir l'aire entourant la ligne singulière.
Donc il en est de même pour
6. Ayant constaté ce fait fondamental qu'il ne serait pas facile de metlre directement en évidence, il nous sera aisé de montrer que
yy(a - i/, ) (H, -h H, 4- H3 4- H,)rfci
tend vers zéro lorsque A vient vers (i) [ou lorsque (w — w, ) tend vers zéroj puisque la fonction est continue\.
En effet, si u admet des dérivées premières finies, ce qui a été supposé, le théorème des accroissements finis permet d'écrire
tt — tt, = r.^,
^ étant une fonction finie.
Il résulte des études précédentes que
yy^ / (H, 4- H, 4- n,)rdrdi^ tend vers zéro avec q.
Il reste à étudier
Décomposons le champ en trois parties : i® D,, petite aire autour de l'axe : r = o; 2^ Dj, petite aire autour du cône, z — ^^ = r; 3** D3, aire restante où H, reste fini.
Dans D, écrivons u— w, = r.vp et nous trouvons zéFV pour l'intégrale lorsque D| s'évanouit.
Fig- 7-
Dans D, l'élément diifférentiel a un signe constant^ car on a
et
puisque d'où d'où
d'ailleurs on a d'où
I cos(/i, r) I <; K = cos(/i, z ),
K -h ^ — -^ cos(/i, r) > o ;
I — m> o, ^Jr-m(j-z,)]>o,
i68 II. d'adhémau.
d'où
L'élément de H, est positif. Donc nous pouvons mettre (u — w,),, hors du signe d'intégration et nous avons encore une intégrale qui tend vers zéro lorsque D^ s'évanouit.
Enfin, dans D3, il y a une partie où l'élément est négatif, mais cette partie n'atteint pas le bord, d'après ce qui a été vu.
La partie négative, ombrée sur la figure, est tout entière à droite de la ligne pp du plan horizontal et à angle droit avec la normale.
Pour chaque région on peut faire sortir (w — a,)n du signe d'intégration et à la limite, puisqu'on aura
lim(a — w«)m= o.
On trouvera en somme, à la limite^ la valeur zéro pour
7. Conclusion. — La convergence est établie pour des données quelconques portées par un plan incliné de moins de /p®.
// sUjffît de modifier très pelt tout ce qui précède pour établir la convergence lorsque la surface S portant les données est quelconque avec plan tangent toujours incliné de moins de 4^^ et unicité de section par tout cône A.
L'on pourrait, de la même manière, étudier la dérivée conormale.
Pour la convergence de £^ à la frontière, il fallait que la fonction donnée u admette àe^dér limées premières finies; pour la convergence
de -rrr il faudra que u admette des dérii^ées secondes finies.
Tout est changé si la surface S est un cône A à 45**. Abordons l'étude de ce cas relativement auquel nous avons un théorème intéressant.
sun UNE CLASSE d'ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. 169
