PREMIÈRE SECTION

On donne u non nul sur le cône.

Fig. 8

Il faut, comme précédemment, examiner l'expression

et voir si elle tend vers zéro lorsque le point A(a;^,y^, z^) se rapproche du point (i) situé sur le cône û, a, étant la valeur (donnée de u au point (i).

1. Écrivons encore y/(z — zj» — r^=: R et étudions l'intégrale

170 R. D ADHEMAR.

étendue à Taire découpée sur le cône ù par le cône ayant son sommet en A.

Grâce à la symétrie, nous pouvons transformer l'intégrale de surface en intégrale simple avec la variable [a qui définit l'hyperboloïde

L'hyperboloïde de paramètre [a et le cône û se coupent suivant l'ellipse

{z\-x\)x''+{z\ - yl)y- - ^x,y,xy

— 2 ux^x' — luy^y' — u^ L'on a posé

L'aire de l'ellipse, à un facteur constant près, est

Or

Is?

'où,

à une constante multiplicative près,

rfff = ^ udu -

Ainsi, l'on a

Or ce qui marque que le point A vient sur le cône û, c'est que X tend vers zéro. Puisque X n'intervient pas dans l'intégrale J,, celle-ci ne

tend pas vers zéro lorsque le point A se rapproche de la surface des données.

C'est Vimerse de ce qui arrivait avec une surface quelconque. Nous prévoyons que le pj^oblème de la convergence va se présenter avec une surface privilégiée, d'une manière toute nouvelle.

L'on a donc ce résultat, par le théorème de la moyenne :

tend vers

lorsque A vient en (i); z^ étant la cote de A, C< une constante et (-jm) une valeur moyenne de ^ sur la génératrice du cône û qui passe par (i).